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人気のある三角関数 >

3cos(x)-4sin(x)=5

解

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

解

x = - 0.92729 \dots + 2 πn

+1

度

x = - 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

両辺に

4 sin (x)

を足す

3 cos (x) = 5 + 4 sin (x)

両辺を2乗する

(3 cos (x))^{2} = (5 + 4 sin (x))^{2}

両辺から

(5 + 4 sin (x))^{2}

を引く

9 cos^{2} (x) - 25 - 40 sin (x) - 16 sin^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 cos^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

簡素化

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) : - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

拡張

9 (1 - sin^{2} (x)) : 9 - 9 sin^{2} (x)

9 (1 - sin^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (x)

数を乗じる:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (x)

= - 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

簡素化

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) : - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - 25 + 9

類似した元を足す:

- 16 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 25 sin^{2} (x)

= - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 25 + 9

数を足す/引く:

- 25 + 9 = - 16

= - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

= - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

= - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

- 16 - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) = 0

置換で解く

- 16 - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) = 0

仮定:

sin (x) = u

- 16 - 25 u^{2} - 40 u = 0

- 16 - 25 u^{2} - 40 u = 0 : u = - \frac{4}{5}

- 16 - 25 u^{2} - 40 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} - 40 u - 16 = 0

解くとthe二次式

- 25 u^{2} - 40 u - 16 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 25, b = - 40, c = - 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 40 ) \pm ( - 40 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 16 )}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 40 ) \pm ( - 40 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 16 )}{2 ( - 25 )}

(- 40)^{2} - 4 (- 25) (- 16) = 0

(- 40)^{2} - 4 (- 25) (- 16)

規則を適用

- (- a) = a

= (- 40)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 40)^{2} = 4 0^{2}

= 4 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16

数を乗じる:

4 \cdot 25 \cdot 16 = 1600

= 4 0^{2} - 1600

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 1600

数を引く:

1600 - 1600 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 40 ) \pm 0}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- ( - 40 )}{2 ( - 25 )}

\frac{- ( - 40 )}{2 ( - 25 )} = - \frac{4}{5}

\frac{- ( - 40 )}{2 ( - 25 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{40}{- 2 \cdot 25}

数を乗じる:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{40}{- 50}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{40}{50}

共通因数を約分する:

10

= - \frac{4}{5}

u = - \frac{4}{5}

二次equationの解:

u = - \frac{4}{5}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - \frac{4}{5} : x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5}

三角関数の逆数プロパティを適用する

sin (x) = - \frac{4}{5}

以下の一般解

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

真

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

の挿入向け

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) - 4 sin (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = 5

改良

5 = 5

\Rightarrow 真

解答を確認する

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

偽

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

の挿入向け

x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) - 4 sin (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 5

改良

1.4 = 5

\Rightarrow 偽

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = - 0.92729 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sqrt(2)cos(x-pi/4)-1=0

2 cos (x - \frac{π}{4}) - 1 = 0

0 = 3 cos (x)

tan(pi/2-x)+tan(x)-1=0

tan (\frac{π}{2} - x) + tan (x) - 1 = 0

cos (1000 t) = 1

3sin(θ/4)-3/2 =0,0<= θ<= 2pi

3 sin (\frac{θ}{4}) - \frac{3}{2} = 0, 0 \leq θ \leq 2 π