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Beliebt Trigonometrie >

sin(x-15)=cos(20+x)

Lösung

sin (x - 1 5^{\circ}) = cos (2 0^{\circ} + x)

Lösung

x = \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{72}

Radianten

x = \frac{17 π}{72} + \frac{72 π}{72} n

Schritte zur Lösung

sin (x - 1 5^{\circ}) = cos (2 0^{\circ} + x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x - 1 5^{\circ}) = cos (2 0^{\circ} + x)

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (x) = sin (9 0^{\circ} - x)

sin (x - 1 5^{\circ}) = sin (9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x))

sin (x - 1 5^{\circ}) = sin (9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x))

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x - 1 5^{\circ}) = sin (9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x))

sin (x) = sin (y) \Rightarrow x = y + 2 π n, x = π - y + 2 π n

x - 1 5^{\circ} = 9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x) + 36 0^{\circ} n, x - 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x)) + 36 0^{\circ} n

x - 1 5^{\circ} = 9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x) + 36 0^{\circ} n, x - 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x)) + 36 0^{\circ} n

x - 1 5^{\circ} = 9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x) + 36 0^{\circ} n : x = \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{72}

x - 1 5^{\circ} = 9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x) + 36 0^{\circ} n

Schreibe

9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x) + 36 0^{\circ} n

um:

- x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ}

9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x) + 36 0^{\circ} n

- (2 0^{\circ} + x) : - 2 0^{\circ} - x

- (2 0^{\circ} + x)

Setze Klammern

= - (2 0^{\circ}) - (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 2 0^{\circ} - x

= 9 0^{\circ} - 2 0^{\circ} - x + 36 0^{\circ} n

Vereinfache

9 0^{\circ} - 2 0^{\circ} - x + 36 0^{\circ} n : - x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ}

9 0^{\circ} - 2 0^{\circ} - x + 36 0^{\circ} n

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 9 : 18

2, 9

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

9 : 3 \cdot 3

9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 3 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

9

vorkommt

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 \cdot 3 = 18

= 18

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

18

Für

9 0^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

9

9 0^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 9}{2 \cdot 9} = 9 0^{\circ}

Für

2 0^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

2 0^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 2}{9 \cdot 2} = 2 0^{\circ}

= 9 0^{\circ} - 2 0^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} 9 - 18 0 ^{\circ} 2}{18}

Addiere gleiche Elemente:

162 0^{\circ} - 36 0^{\circ} = 126 0^{\circ}

= - x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ}

= - x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ}

x - 1 5^{\circ} = - x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ}

Verschiebe

1 5^{\circ}

auf die rechte Seite

x - 1 5^{\circ} = - x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ}

Füge

1 5^{\circ}

zu beiden Seiten hinzu

x - 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ} = - x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ} + 1 5^{\circ}

Vereinfache

x - 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ} = - x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ} + 1 5^{\circ}

Vereinfache

x - 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ} : x

x - 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ}

Addiere gleiche Elemente:

- 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ} = 0

= x

Vereinfache

- x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ} + 1 5^{\circ} : - x + 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

- x + 36 0^{\circ} n + 7 0^{\circ} + 1 5^{\circ}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

18, 12 : 36

18, 12

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

18 : 2 \cdot 3 \cdot 3

18

18

ist durch

218 = 9 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

18

oder

12

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 36

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

36

Für

7 0^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

7 0^{\circ} = \frac{126 0 ^{\circ} 2}{18 \cdot 2} = 7 0^{\circ}

Für

1 5^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

1 5^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 3}{12 \cdot 3} = 1 5^{\circ}

= 7 0^{\circ} + 1 5^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{252 0 ^{\circ} + 18 0 ^{\circ} 3}{36}

Addiere gleiche Elemente:

252 0^{\circ} + 54 0^{\circ} = 306 0^{\circ}

= - x + 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

x = - x + 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

x = - x + 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

x = - x + 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

Verschiebe

x

auf die linke Seite

x = - x + 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

Füge

x

zu beiden Seiten hinzu

x + x = - x + 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ} + x

Vereinfache

2 x = 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

2 x = 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{36 0 ^{\circ} n}{2} + \frac{8 5 ^{\circ}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{36 0 ^{\circ} n}{2} + \frac{8 5 ^{\circ}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{36 0 ^{\circ} n}{2} + \frac{8 5 ^{\circ}}{2} : \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{72}

\frac{36 0 ^{\circ} n}{2} + \frac{8 5 ^{\circ}}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{36 0 ^{\circ} n + 8 5 ^{\circ}}{2}

Füge

36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

zusammen:

\frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{36}

36 0^{\circ} n + 8 5^{\circ}

Wandle das Element in einen Bruch um:

36 0^{\circ} n = \frac{36 0 ^{\circ} n 36}{36}

= \frac{36 0 ^{\circ} n \cdot 36}{36} + 8 5^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{36 0 ^{\circ} n \cdot 36 + 306 0 ^{\circ}}{36}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 36 = 72

= \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{36}

= \frac{\frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{36}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{36 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 2 = 72

= \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{72}

x = \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{72}

x = \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{72}

x = \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{72}

x - 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x)) + 36 0^{\circ} n :

Wahr für alle

x; 0 = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

x - 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x)) + 36 0^{\circ} n

Schreibe

18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x)) + 36 0^{\circ} n

um:

18 0^{\circ} + x - 7 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x)) + 36 0^{\circ} n

Multipliziere aus

9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x) : - x + 7 0^{\circ}

9 0^{\circ} - (2 0^{\circ} + x)

- (2 0^{\circ} + x) : - 2 0^{\circ} - x

- (2 0^{\circ} + x)

Setze Klammern

= - (2 0^{\circ}) - (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 2 0^{\circ} - x

= 9 0^{\circ} - 2 0^{\circ} - x

Vereinfache

9 0^{\circ} - 2 0^{\circ} - x : - x + 7 0^{\circ}

9 0^{\circ} - 2 0^{\circ} - x

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 9 : 18

2, 9

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

9 : 3 \cdot 3

9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 3 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

9

vorkommt

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 \cdot 3 = 18

= 18

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

18

Für

9 0^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

9

9 0^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 9}{2 \cdot 9} = 9 0^{\circ}

Für

2 0^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

2 0^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 2}{9 \cdot 2} = 2 0^{\circ}

= 9 0^{\circ} - 2 0^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} 9 - 18 0 ^{\circ} 2}{18}

Addiere gleiche Elemente:

162 0^{\circ} - 36 0^{\circ} = 126 0^{\circ}

= - x + 7 0^{\circ}

= - x + 7 0^{\circ}

= 18 0^{\circ} - (- x + 7 0^{\circ}) + 36 0^{\circ} n

- (- x + 7 0^{\circ}) : x - 7 0^{\circ}

- (- x + 7 0^{\circ})

Setze Klammern

= - (- x) - (7 0^{\circ})

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= x - 7 0^{\circ}

= 18 0^{\circ} + x - 7 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

x - 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ} + x - 7 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Verschiebe

1 5^{\circ}

auf die rechte Seite

x - 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ} + x - 7 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Füge

1 5^{\circ}

zu beiden Seiten hinzu

x - 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ} + x - 7 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n + 1 5^{\circ}

Vereinfache

x - 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ} = 18 0^{\circ} + x - 7 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n + 1 5^{\circ}

Vereinfache

x - 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ} : x

x - 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ}

Addiere gleiche Elemente:

- 1 5^{\circ} + 1 5^{\circ} = 0

= x

Vereinfache

18 0^{\circ} + x - 7 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n + 1 5^{\circ} : x + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

18 0^{\circ} + x - 7 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n + 1 5^{\circ}

Fasse gleiche Terme zusammen

= x + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n + 1 5^{\circ} - 7 0^{\circ}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

12, 18 : 36

12, 18

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

18 : 2 \cdot 3 \cdot 3

18

18

ist durch

218 = 9 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

12

oder

18

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 36

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

36

Für

1 5^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

1 5^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 3}{12 \cdot 3} = 1 5^{\circ}

Für

7 0^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

7 0^{\circ} = \frac{126 0 ^{\circ} 2}{18 \cdot 2} = 7 0^{\circ}

= 1 5^{\circ} - 7 0^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} 3 - 252 0 ^{\circ}}{36}

Addiere gleiche Elemente:

54 0^{\circ} - 252 0^{\circ} = - 198 0^{\circ}

= \frac{- 198 0 ^{\circ}}{36}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= x + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

x = x + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

x = x + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

x = x + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

Verschiebe

x

auf die linke Seite

x = x + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

Subtrahiere

x

von beiden Seiten

x - x = x + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ} - x

Vereinfache

0 = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

0 = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

Beide Seiten sind gleich

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x; 0 = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 5 5^{\circ}

Da die Gleichung undefiniert ist für:

Wahr für alle

x

x = \frac{1296 0 ^{\circ} n + 306 0 ^{\circ}}{72}

Graph

Beliebte Beispiele

15sin^2(x)-17sin(x)+4=0

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tan^2(x)=2sec(x)

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csc(t)=2

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