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3sin(θ)+2sin^2(θ)=-1,0<= θ<2pi

Solución

3 sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = - 1, 0 \leq θ < 2 π

Solución

θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}, θ = \frac{3 π}{2}

Grados

θ = 21 0^{\circ}, θ = 33 0^{\circ}, θ = 27 0^{\circ}

Pasos de solución

3 sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = - 1, 0 \leq θ < 2 π

Usando el método de sustitución

3 sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = - 1

Sea:

sin (θ) = u

3 u + 2 u^{2} = - 1

3 u + 2 u^{2} = - 1 : u = - \frac{1}{2}, u = - 1

3 u + 2 u^{2} = - 1

Mover

1

al lado izquierdo

3 u + 2 u^{2} = - 1

Sumar

1

a ambos lados

3 u + 2 u^{2} + 1 = - 1 + 1

Simplificar

3 u + 2 u^{2} + 1 = 0

3 u + 2 u^{2} + 1 = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 3 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} + 3 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Restar:

9 - 8 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 1}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 3 + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 1}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 3 + 1 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 1}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 3 - 1}{2 \cdot 2}

Restar:

- 3 - 1 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{2}, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = - 1

sin (θ) = - \frac{1}{2}, 0 \leq θ < 2 π : θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}

sin (θ) = - \frac{1}{2}, 0 \leq θ < 2 π

Soluciones generales para

sin (θ) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < 2 π

θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}

sin (θ) = - 1, 0 \leq θ < 2 π : θ = \frac{3 π}{2}

sin (θ) = - 1, 0 \leq θ < 2 π

Soluciones generales para

sin (θ) = - 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq θ < 2 π

θ = \frac{3 π}{2}

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{7 π}{6}, θ = \frac{11 π}{6}, θ = \frac{3 π}{2}

Ejemplos populares

3sin^2(x)+4sin(x)+1=0

3 sin^{2} (x) + 4 sin (x) + 1 = 0

cos(x)= 9/14

cos (x) = \frac{9}{14}

sin(θ)= 7/9

sin (θ) = \frac{7}{9}

cos(θ)=0.97617

cos (θ) = 0.97617

cos(a)=0,999^{99}x,(sin(a))/(cos(a))x

cos (a) = 0, 99 9^{99} x, \frac{sin ( a )}{cos ( a )} x