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Popular >

sqrt(3)sin(x)+cos(x)=4

Solución

3 sin (x) + cos (x) = 4

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Pasos de solución

3 sin (x) + cos (x) = 4

Restar

cos (x)

de ambos lados

3 sin (x) = 4 - cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(3 sin (x))^{2} = (4 - cos (x))^{2}

Restar

(4 - cos (x))^{2}

de ambos lados

3 sin^{2} (x) - 16 + 8 cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 16 - cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) + 8 cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x)

Simplificar

- 16 - cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x) : 8 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 13

- 16 - cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x)

Expandir

3 (1 - cos^{2} (x)) : 3 - 3 cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (x)

= - 16 - cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) + 8 cos (x)

Simplificar

- 16 - cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) + 8 cos (x) : 8 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 13

- 16 - cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) + 8 cos (x)

Agrupar términos semejantes

= - cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 16 + 3

Sumar elementos similares:

- cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) = - 4 cos^{2} (x)

= - 4 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 16 + 3

Sumar/restar lo siguiente:

- 16 + 3 = - 13

= 8 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 13

= 8 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 13

= 8 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 13

- 13 - 4 cos^{2} (x) + 8 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 13 - 4 cos^{2} (x) + 8 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 13 - 4 u^{2} + 8 u = 0

- 13 - 4 u^{2} + 8 u = 0 : u = 1 - i \frac{3}{2}, u = 1 + i \frac{3}{2}

- 13 - 4 u^{2} + 8 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 8 u - 13 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} + 8 u - 13 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = 8, c = - 13

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 13 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 13 )}{2 ( - 4 )}

Simplificar

8^{2} - 4 (- 4) (- 13) : 12 i

8^{2} - 4 (- 4) (- 13)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 13

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 13 = 208

= 8^{2} - 208

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 208 - 8^{2}

- 8^{2} + 208 = 12

- 8^{2} + 208

8^{2} = 64

= - 64 + 208

Sumar/restar lo siguiente:

- 64 + 208 = 144

= 144

Descomponer el número en factores primos:

144 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 2^{2} = 12

= 12

= 12 i

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 12 i}{2 ( - 4 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 8 + 12 i}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 12 i}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 8 + 12 i}{2 ( - 4 )} : 1 - i \frac{3}{2}

\frac{- 8 + 12 i}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 12 i}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8 + 12 i}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 8 + 12 i}{8}

Cancelar

\frac{- 8 + 12 i}{8} : \frac{- 2 + 3 i}{2}

\frac{- 8 + 12 i}{8}

Factorizar

- 8 + 12 i : 4 (- 2 + 3 i)

- 8 + 12 i

Reescribir como

= - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 i

Factorizar el termino común

4

= 4 (- 2 + 3 i)

= \frac{4 ( - 2 + 3 i )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{- 2 + 3 i}{2}

= - \frac{- 2 + 3 i}{2}

Reescribir

- \frac{- 2 + 3 i}{2}

en la forma binómica:

1 - \frac{3}{2} i

- \frac{- 2 + 3 i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 2 + 3 i}{2} = - (- \frac{2}{2}) - (\frac{3 i}{2})

= - (- \frac{2}{2}) - (\frac{3 i}{2})

Quitar los parentesis:

(a) = a, - (- a) = a

= \frac{2}{2} - \frac{3 i}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1 - \frac{3 i}{2}

= 1 - \frac{3}{2} i

u = \frac{- 8 - 12 i}{2 ( - 4 )} : 1 + i \frac{3}{2}

\frac{- 8 - 12 i}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 12 i}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8 - 12 i}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 8 - 12 i}{8}

Cancelar

\frac{- 8 - 12 i}{8} : - \frac{2 + 3 i}{2}

\frac{- 8 - 12 i}{8}

Factorizar

- 8 - 12 i : - 4 (2 + 3 i)

- 8 - 12 i

Reescribir como

= - 4 \cdot 2 - 4 \cdot 3 i

Factorizar el termino común

4

= - 4 (2 + 3 i)

= - \frac{4 ( 2 + 3 i )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{2 + 3 i}{2}

= - (- \frac{2 + 3 i}{2})

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 3 i}{2}

Reescribir

\frac{2 + 3 i}{2}

en la forma binómica:

1 + \frac{3}{2} i

\frac{2 + 3 i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{2 + 3 i}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{2}{2} + \frac{3 i}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

\frac{2}{2} = 1

= 1 + \frac{3 i}{2}

= 1 + \frac{3}{2} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1 - i \frac{3}{2}, u = 1 + i \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 1 - i \frac{3}{2}, cos (x) = 1 + i \frac{3}{2}

cos (x) = 1 - i \frac{3}{2}, cos (x) = 1 + i \frac{3}{2}

cos (x) = 1 - i \frac{3}{2} :

Sin solución

cos (x) = 1 - i \frac{3}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = 1 + i \frac{3}{2} :

Sin solución

cos (x) = 1 + i \frac{3}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

3 sin (x) + cos (x) = 4

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Ejemplos populares

solvefor θ,sec(θ)=2 resolver para

θ, sec (θ) = 2

2cos(4θ)=0

2 cos (4 θ) = 0

1032/3145 sin(4x)+2196/3145 cos(4x)=0

\frac{1032}{3145} sin (4 x) + \frac{2196}{3145} cos (4 x) = 0

6-2sin(θ)-8sin^2(θ)=0

6 - 2 sin (θ) - 8 sin^{2} (θ) = 0

cos(2θ)=cos(3θ)

cos (2 θ) = cos (3 θ)