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sin^4(θ)+cos^4(θ)=2sin^2(θ)-1

Lösung

sin^{4} (θ) + cos^{4} (θ) = 2 sin^{2} (θ) - 1

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{4} (θ) + cos^{4} (θ) = 2 sin^{2} (θ) - 1

Subtrahiere

2 sin^{2} (θ) - 1

von beiden Seiten

sin^{4} (θ) + cos^{4} (θ) - 2 sin^{2} (θ) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos^{4} (θ) + sin^{4} (θ) - 2 sin^{2} (θ)

Beweise die Identität:

1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x) = cos^{4} (x)

1 - 2 sin^{2} (θ) + sin^{4} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

1 - 2 sin^{2} (θ) + sin^{4} (θ) = (1 - sin^{2} (θ))^{2}

= (1 - sin^{2} (θ))^{2}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= (cos^{2} (θ))^{2}

Vereinfache

(cos^{2} (θ))^{2} : cos^{4} (θ)

(cos^{2} (θ))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= cos^{2 \cdot 2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= cos^{4} (θ)

= cos^{4} (θ)

= cos^{4} (θ) + cos^{4} (θ)

Vereinfache

= 2 cos^{4} (θ)

2 cos^{4} (θ) = 0

Teile beide Seiten durch

2

2 cos^{4} (θ) = 0

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ^{4} ( θ )}{2} = \frac{0}{2}

Vereinfache

cos^{4} (θ) = 0

cos^{4} (θ) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

cos (θ) = 0

Deshalb ist die Lösung

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

so l v e f or x, \frac{- y}{2} + sin (x) = 0

cos (a) = 0.33

tan (θ) = \frac{3}{- 2}

4 sin^{2} (r) - sin (r) = 0

tan (θ) = \frac{3}{- 3}