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sin^2(x)+sin(x)=1

Solución

sin^{2} (x) + sin (x) = 1

x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Grados

x = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin^{2} (x) + sin (x) = 1

Usando el método de sustitución

sin^{2} (x) + sin (x) = 1

Sea:

sin (x) = u

u^{2} + u = 1

u^{2} + u = 1 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

u^{2} + u = 1

Mover

1

al lado izquierdo

u^{2} + u = 1

Restar

1

de ambos lados

u^{2} + u - 1 = 1 - 1

Simplificar

u^{2} + u - 1 = 0

u^{2} + u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} + u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Sumar:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Sin solución

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

x, c sin (m x) m = \frac{nπ}{a}

x, - 0.3 \cdot cos (x) + sin (x) = 0.10618

6 tan (x) = 4

3 tan (x) + cot (x) - 5 csc (x) = 0

3 cos^{2} (x) = 1 - 5 sin (x)