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Beliebt Trigonometrie >

4cos(θ/2)=3+2cos(θ)

Lösung

4 cos (\frac{θ}{2}) = 3 + 2 cos (θ)

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 4 πn, θ = \frac{10 π}{3} + 4 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 60 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (\frac{θ}{2}) = 3 + 2 cos (θ)

Subtrahiere

3 + 2 cos (θ)

von beiden Seiten

4 cos (\frac{θ}{2}) - 3 - 2 cos (θ) = 0

Angenommen:

u = \frac{θ}{2}

4 cos (u) - 3 - 2 cos (2 u) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 - 2 cos (2 u) + 4 cos (u)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 3 - 2 (2 cos^{2} (u) - 1) + 4 cos (u)

Vereinfache

- 3 - 2 (2 cos^{2} (u) - 1) + 4 cos (u) : 4 cos (u) - 4 cos^{2} (u) - 1

- 3 - 2 (2 cos^{2} (u) - 1) + 4 cos (u)

Multipliziere aus

- 2 (2 cos^{2} (u) - 1) : - 4 cos^{2} (u) + 2

- 2 (2 cos^{2} (u) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 2 cos^{2} (u), c = 1

= - 2 \cdot 2 cos^{2} (u) - (- 2) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 2 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1

Vereinfache

- 2 \cdot 2 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1 : - 4 cos^{2} (u) + 2

- 2 \cdot 2 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - 4 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 4 cos^{2} (u) + 2

= - 4 cos^{2} (u) + 2

= - 3 - 4 cos^{2} (u) + 2 + 4 cos (u)

Vereinfache

- 3 - 4 cos^{2} (u) + 2 + 4 cos (u) : 4 cos (u) - 4 cos^{2} (u) - 1

- 3 - 4 cos^{2} (u) + 2 + 4 cos (u)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 cos^{2} (u) + 4 cos (u) - 3 + 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 2 = - 1

= 4 cos (u) - 4 cos^{2} (u) - 1

= 4 cos (u) - 4 cos^{2} (u) - 1

= 4 cos (u) - 4 cos^{2} (u) - 1

- 1 + 4 cos (u) - 4 cos^{2} (u) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 4 cos (u) - 4 cos^{2} (u) = 0

Angenommen:

cos (u) = u

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

4^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

4^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 4}{2 ( - 4 )}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )} = \frac{1}{2}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (u)

ein

cos (u) = \frac{1}{2}

cos (u) = \frac{1}{2}

cos (u) = \frac{1}{2} : u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (u) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (u) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{5 π}{3} + 2 πn

u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

u = \frac{π}{3} + 2 πn, u = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze in

u = \frac{θ}{2}

ein

\frac{θ}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn : θ = \frac{2 π}{3} + 4 πn

\frac{θ}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = \frac{π}{3} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn : \frac{2 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere

2 \cdot \frac{π}{3} : \frac{2 π}{3}

2 \cdot \frac{π}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{3}

= \frac{2 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 4 πn

\frac{θ}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn : θ = \frac{10 π}{3} + 4 πn

\frac{θ}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{θ}{2} = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn : \frac{10 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{5 π}{3} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{3} = \frac{10 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{10 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{10 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{10 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{10 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 4 πn, θ = \frac{10 π}{3} + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ+10)=cot(2θ-10)

tan (θ + 1 0^{\circ}) = cot (2 θ - 10)

4sin^2(x)=5-2cos(x)

4 sin^{2} (x) = 5 - 2 cos (x)

sin(x+pi/6)=-1

sin (x + \frac{π}{6}) = - 1

sec(x)= 4/3

sec (x) = \frac{4}{3}

4cos(x)+3cos(x)=5

4 cos (x) + 3 cos (x) = 5