English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

2cos^2(θ)-1=sec(θ)

פתרון

2 cos^{2} (θ) - 1 = sec (θ)

פתרון

θ = 2 πn

מעלות

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

צעדי פתרון

2 cos^{2} (θ) - 1 = sec (θ)

משני האגפים

sec (θ)

החסר

2 cos^{2} (θ) - 1 - sec (θ) = 0

Rewrite using trig identities

- 1 - sec (θ) + 2 cos^{2} (θ)

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= - 1 - sec (θ) + 2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= 2 \cdot \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot 2}{sec ^{2} ( θ )}

1 \cdot 2 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

= - 1 - sec (θ) + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )} - sec (θ) = 0

בעזרת שיטת ההצבה

- 1 + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )} - sec (θ) = 0

sec (θ) = u :

נניח ש

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0 : u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

u^{2}

הכפל את שני האגפים ב

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

u^{2}

הכפל את שני האגפים ב

- 1 \cdot u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} - u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

פשט

- 1 \cdot u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} - u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

- 1 \cdot u^{2}

פשט את:

- u^{2}

- 1 \cdot u^{2}

1 \cdot u^{2} = u^{2} :

הכפל

= - u^{2}

\frac{2}{u ^{2}} u^{2}

פשט את:

2

\frac{2}{u ^{2}} u^{2}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{2 u ^{2}}{u ^{2}}

u^{2} :

בטל את הגורמים המשותפים

= 2

- u u^{2}

פשט את:

- u^{3}

- u u^{2}

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

u u^{2} = u^{1 + 2}

= - u^{1 + 2}

1 + 2 = 3 :

חבר את המספרים

= - u^{3}

0 \cdot u^{2}

פשט את:

0

0 \cdot u^{2}

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

פתור את:

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

כתוב בצורה הסטנדרטית

- u^{3} - u^{2} + 2 = 0

- u^{3} - u^{2} + 2

פרק לגורמים את:

- (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

- u^{3} - u^{2} + 2

- 1

הוצא את הגורם המשותף

= - (u^{3} + u^{2} - 2)

u^{3} + u^{2} - 2

פרק לגורמים את:

(u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

u^{3} + u^{2} - 2

השתמש במשפט השורש הרציונלי

u - 1

הוא שורש של הביטוי, אז הוצא החוצה את

\pm \frac{1 , 2}{1}

\frac{1}{1}

לכן, בדוק את המספרים הרציונלים הבאים

a_{n} : 1

המחלקים של

a_{0} : 1, 2,

המחלקים של

a_{0} = 2, a_{n} = 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1}

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + 2 u + 2

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1}

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1}

חלק את:

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

u^{3} + u^{2} - 2

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{u ^{3}}{u} = u^{2} : u - 1

והמכנה

Quotient = u^{2}

u^{3} - u^{2} : u^{2}

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

u^{3} + u^{2} - 2

u^{3} - u^{2}

החסר

שארית = 2 u^{2} - 2

לכן

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

= u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

חלק את:

\frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

2 u^{2} - 2

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u : u - 1

והמכנה

Quotient = 2 u

2 u^{2} - 2 u : 2 u

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

2 u^{2} - 2

2 u^{2} - 2 u

החסר

שארית = 2 u - 2

לכן

\frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

= u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

\frac{2 u - 2}{u - 1}

חלק את:

\frac{2 u - 2}{u - 1} = 2

2 u - 2

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{2 u}{u} = 2 : u - 1

והמכנה

Quotient = 2

2 u - 2 : 2

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

2 u - 2

2 u - 2

החסר

שארית = 0

לכן

\frac{2 u - 2}{u - 1} = 2

= u^{2} + 2 u + 2

= u^{2} + 2 u + 2

= (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

= - (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

- (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2) = 0

פתור על ידי השוואת הגורמים לאפס

u - 1 = 0 or u^{2} + 2 u + 2 = 0

u - 1 = 0

פתור את:

u = 1

u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

u = 1

u = 1

u^{2} + 2 u + 2 = 0

פתור את:

u = - 1 + i, u = - 1 - i

u^{2} + 2 u + 2 = 0

פתור בעזרת הנוסחה הריבועית

u^{2} + 2 u + 2 = 0

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

a = 1, b = 2, c = 2

עבור

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

פשט את:

2 i

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8 :

הכפל את המספרים

= 2^{2} - 8

- a = i a

:הפעל את חוק המספרים הדמיוניים

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

- 4 + 8 = 4 :

חסר/חבר את המספרים

= 4

4 = 2^{2} :

פרק את המספר לגורמים הראשוניים שלו

= 2^{2}

n a^{n} = a

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1} : - 1 + i

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 2 + 2 i}{2}

- 2 + 2 i

פרק לגורמים את:

2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

כתוב מחדש בתור

= - 2 \cdot 1 + 2 i

2

הוצא את הגורם המשותף

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= - 1 + i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1} : - 1 - i

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 2 - 2 i}{2}

- 2 - 2 i

פרק לגורמים את:

- 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

כתוב מחדש בתור

= - 2 \cdot 1 - 2 i

2

הוצא את הגורם המשותף

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= - (1 + i)

- (1 + i) = - 1 - i

הפוך לשלילי את

= - 1 - i

הפתרונות למשוואה הריבועית הם

u = - 1 + i, u = - 1 - i

The solutions are

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

בדוק פתרונות

מצא נקודות לא מוגדרות:

u = 0

והשווה אותם לאפס

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u

קח את המכנים של

u^{2} = 0

פתור את:

u = 0

u^{2} = 0

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

הפעל את החוק

u = 0

הנקודות הבאות לא מוגדרות

u = 0

חבר את הנקודות הלא מוגדרות עם הפתרונות

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

u = sec (θ)

החלף בחזרה

sec (θ) = 1, sec (θ) = - 1 + i, sec (θ) = - 1 - i

sec (θ) = 1, sec (θ) = - 1 + i, sec (θ) = - 1 - i

sec (θ) = 1 : θ = 2 πn

sec (θ) = 1

sec (θ) = 1 :

פתרונות כלליים עבור

sec (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

פתור את:

θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

sec (θ) = - 1 + i :

אין פתרון

sec (θ) = - 1 + i

אין פתרון

sec (θ) = - 1 - i :

אין פתרון

sec (θ) = - 1 - i

אין פתרון

אחד את הפתרונות

θ = 2 πn

גרף

דוגמאות פופולריות

1/(sin(x))-sin(x)=sin(x)

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) = sin (x)

4cos^2(x)=0

4 cos^{2} (x) = 0

sin(2x)=(2*10*1500000)/(11000000)

sin (2 x) = \frac{2 \cdot 10 \cdot 1500000}{11000000}

2/(tan(x))=3-tan(x)

\frac{2}{tan ( x )} = 3 - tan (x)

tan(x)=0.158

tan (x) = 0.158