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Beliebt Trigonometrie >

2cos^2(θ)-1=sec(θ)

Lösung

2 cos^{2} (θ) - 1 = sec (θ)

Lösung

θ = 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos^{2} (θ) - 1 = sec (θ)

Subtrahiere

sec (θ)

von beiden Seiten

2 cos^{2} (θ) - 1 - sec (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - sec (θ) + 2 cos^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 1 - sec (θ) + 2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

2 (\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= 2 \cdot \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ^{2} ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

= - 1 - sec (θ) + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )} - sec (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + \frac{2}{sec ^{2} ( θ )} - sec (θ) = 0

Angenommen:

sec (θ) = u

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0 : u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

- 1 \cdot u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} - u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

- 1 \cdot u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} - u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

- 1 \cdot u^{2} : - u^{2}

- 1 \cdot u^{2}

Multipliziere:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= - u^{2}

Vereinfache

\frac{2}{u ^{2}} u^{2} : 2

\frac{2}{u ^{2}} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ^{2}}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{2}

= 2

Vereinfache

- u u^{2} : - u^{3}

- u u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= - u^{1 + 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= - u^{3}

Vereinfache

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

Löse

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0 : u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

- u^{2} + 2 - u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{3} - u^{2} + 2 = 0

Faktorisiere

- u^{3} - u^{2} + 2 : - (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

- u^{3} - u^{2} + 2

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (u^{3} + u^{2} - 2)

Faktorisiere

u^{3} + u^{2} - 2 : (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

u^{3} + u^{2} - 2

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 2, a_{n} = 1

Die Teiler von

a_{0} : 1, 2,

Die Teiler von

a_{n} : 1

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1 , 2}{1}

\frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1}

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + 2 u + 2

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1}

Dividiere

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} : \frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u^{3} + u^{2} - 2

und des Teilers

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quotient = u^{2}

Multipliziere

u - 1

mit

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Substrahiere

u^{3} - u^{2}

von

u^{3} + u^{2} - 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 2 u^{2} - 2

Deshalb

\frac{u ^{3} + u ^{2} - 2}{u - 1} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

= u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{2} - 2

und des Teilers

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multipliziere

u - 1

mit

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Substrahiere

2 u^{2} - 2 u

von

2 u^{2} - 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 2 u - 2

Deshalb

\frac{2 u ^{2} - 2}{u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

= u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 2}{u - 1}

Dividiere

\frac{2 u - 2}{u - 1} : \frac{2 u - 2}{u - 1} = 2

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u - 2

und des Teilers

u - 1 : \frac{2 u}{u} = 2

Quotient = 2

Multipliziere

u - 1

mit

2 : 2 u - 2

Substrahiere

2 u - 2

von

2 u - 2

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{2 u - 2}{u - 1} = 2

= u^{2} + 2 u + 2

= u^{2} + 2 u + 2

= (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

= - (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)

- (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 2 u + 2 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

u^{2} + 2 u + 2 = 0 : u = - 1 + i, u = - 1 - i

u^{2} + 2 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + 2 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 2, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

Vereinfache

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} - 8

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 8 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1} : - 1 + i

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 i}{2}

Faktorisiere

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1} : - 1 - i

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 i}{2}

Faktorisiere

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + i)

Negiere die Vorzeichen

- (1 + i) = - 1 - i

= - 1 - i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1 + i, u = - 1 - i

Die Lösungen sind

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 1 + \frac{2}{u ^{2}} - u

und vergleiche mit Null

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1, u = - 1 + i, u = - 1 - i

Setze in

u = sec (θ)

ein

sec (θ) = 1, sec (θ) = - 1 + i, sec (θ) = - 1 - i

sec (θ) = 1, sec (θ) = - 1 + i, sec (θ) = - 1 - i

sec (θ) = 1 : θ = 2 πn

sec (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sec (θ) = 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

sec (θ) = - 1 + i :

Keine Lösung

sec (θ) = - 1 + i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (θ) = - 1 - i :

Keine Lösung

sec (θ) = - 1 - i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

1/(sin(x))-sin(x)=sin(x)

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) = sin (x)

4cos^2(x)=0

4 cos^{2} (x) = 0

sin(2x)=(2*10*1500000)/(11000000)

sin (2 x) = \frac{2 \cdot 10 \cdot 1500000}{11000000}

2/(tan(x))=3-tan(x)

\frac{2}{tan ( x )} = 3 - tan (x)

tan(x)=0.158

tan (x) = 0.158