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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)-cos(x+pi/4)=0

Lösung

cos (x) - cos (x + \frac{π}{4}) = 0

Lösung

x = 2 πn - \frac{π}{8}, x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

Grad

x = - 22. 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 157. 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) - cos (x + \frac{π}{4}) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) - cos (x + \frac{π}{4})

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2}) sin (\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2})

Vereinfache

- 2 sin (\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2}) sin (\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2}) : 2 - 2 sin (\frac{8 x + π}{8})

- 2 sin (\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2}) sin (\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2})

\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2} = \frac{8 x + π}{8}

\frac{x + x + \frac{π}{4}}{2}

Addiere gleiche Elemente:

x + x = 2 x

= \frac{2 x + \frac{π}{4}}{2}

Füge

2 x + \frac{π}{4}

zusammen:

\frac{8 x + π}{4}

2 x + \frac{π}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 x = \frac{2 x 4}{4}

= \frac{2 x \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 x \cdot 4 + π}{4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8 x + π}{4}

= \frac{\frac{8 x + π}{4}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{8 x + π}{4 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{8 x + π}{8}

= - 2 sin (\frac{8 x + π}{8}) sin (\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2})

\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2} = - \frac{π}{8}

\frac{x - ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Multipliziere aus

x - (x + \frac{π}{4}) : - \frac{π}{4}

x - (x + \frac{π}{4})

- (x + \frac{π}{4}) : - x - \frac{π}{4}

- (x + \frac{π}{4})

Setze Klammern

= - (x) - (\frac{π}{4})

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - x - \frac{π}{4}

= x - x - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

x - x = 0

= - \frac{π}{4}

= \frac{- \frac{π}{4}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{π}{4}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{π}{4}}{2} = \frac{π}{4 \cdot 2}

= - \frac{π}{4 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= - \frac{π}{8}

= - 2 sin (- \frac{π}{8}) sin (\frac{8 x + π}{8})

sin (- \frac{π}{8}) = - \frac{2 - 2}{2}

sin (- \frac{π}{8})

Verwende die folgende Eigenschaft:

sin (- x) = - sin (x)

sin (- \frac{π}{8}) = - sin (\frac{π}{8})

= - sin (\frac{π}{8})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin (\frac{π}{8}) = \frac{2 - 2}{2}

sin (\frac{π}{8})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{2}

sin (\frac{π}{8})

Schreibe

sin (\frac{π}{8})

als

sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})

= sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})

Verwende die Halbwinkel Identität:

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Ersetze

θ

mit

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 1 - 2 sin^{2} (\frac{θ}{2})

Tausche die Seiten

2 sin^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 - cos (θ)

Teile beide Seiten durch

2

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] [π, \frac{3 π}{2}] [\frac{3 π}{2}, 2 π] quadrant I II III I V sin positive positive negative negative cos positive negative negative positive

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{π}{4} )}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2} : \frac{2 - 2}{2}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{2}

Füge

1 - \frac{2}{2}

zusammen:

\frac{2 - 2}{2}

1 - \frac{2}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 2}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{\frac{2 - 2}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2}{4}

= \frac{2 - 2}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 - 2}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{2 - 2}{2}

= - \frac{2 - 2}{2}

= - 2 (- \frac{2 - 2}{2}) sin (\frac{8 x + π}{8})

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2 sin (\frac{8 x + π}{8}) \frac{2 - 2}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 2}{2} sin (\frac{8 x + π}{8})

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (\frac{8 x + π}{8}) 2 - 2

= 2 - 2 sin (\frac{8 x + π}{8})

2 - 2 sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

Teile beide Seiten durch

2 - 2

2 - 2 sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

Teile beide Seiten durch

2 - 2

\frac{2 - 2 sin ( \frac{8 x + π}{8} )}{2 - 2} = \frac{0}{2 - 2}

Vereinfache

sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{8 x + π}{8}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{8 x + π}{8} = 0 + 2 πn, \frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn

\frac{8 x + π}{8} = 0 + 2 πn, \frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn

Löse

\frac{8 x + π}{8} = 0 + 2 πn : x = 2 πn - \frac{π}{8}

\frac{8 x + π}{8} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{8 x + π}{8} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

8

\frac{8 x + π}{8} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

8

\frac{8 ( 8 x + π )}{8} = 8 \cdot 2 πn

Vereinfache

8 x + π = 16 πn

8 x + π = 16 πn

Verschiebe

π

auf die rechte Seite

8 x + π = 16 πn

Subtrahiere

π

von beiden Seiten

8 x + π - π = 16 πn - π

Vereinfache

8 x = 16 πn - π

8 x = 16 πn - π

Teile beide Seiten durch

8

8 x = 16 πn - π

Teile beide Seiten durch

8

\frac{8 x}{8} = \frac{16 πn}{8} - \frac{π}{8}

Vereinfache

x = 2 πn - \frac{π}{8}

x = 2 πn - \frac{π}{8}

Löse

\frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn : x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

\frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

8

\frac{8 x + π}{8} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

8

\frac{8 ( 8 x + π )}{8} = 8 π + 8 \cdot 2 πn

Vereinfache

8 x + π = 8 π + 16 πn

8 x + π = 8 π + 16 πn

Verschiebe

π

auf die rechte Seite

8 x + π = 8 π + 16 πn

Subtrahiere

π

von beiden Seiten

8 x + π - π = 8 π + 16 πn - π

Vereinfache

8 x = 7 π + 16 πn

8 x = 7 π + 16 πn

Teile beide Seiten durch

8

8 x = 7 π + 16 πn

Teile beide Seiten durch

8

\frac{8 x}{8} = \frac{7 π}{8} + \frac{16 πn}{8}

Vereinfache

x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

x = 2 πn - \frac{π}{8}, x = \frac{7 π}{8} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)=0.7597

cos (x) = 0.7597

cos(3x)=-3cos(x)

cos (3 x) = - 3 cos (x)

cos(x)= 280/2000

cos (x) = \frac{280}{2000}

4cos(θ)=sqrt(2)+2cos(θ)

4 cos (θ) = 2 + 2 cos (θ)

solvefor x,T(6)=3.15cos(pi/6 x)+19.15

so l v e f or x, T (6) = 3.15 cos (\frac{π}{6} x) + 19.15