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Popolare Trigonometria >

arctan(x/3)+arctan(x/2)=arctan(x)

Soluzione

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Soluzione

x = 0, x = - 1, x = 1

Fasi della soluzione

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Sottrarre

arctan (x)

da entrambi i lati

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) - arctan (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- arctan (x) + arctan (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}})

Usa la formula della somma al prodotto:

arctan (s) - arctan (t) = arctan (\frac{s - t}{1 + s t})

= arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

arctan \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = tan (0)

tan (0) = 0

tan (0)

Usare la seguente identità triviale:

tan (0) = 0

tan (0)

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 0

= 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Risolvi

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} = 0

Semplificare

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x} : \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x = \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Unisci

\frac{x}{3} + \frac{x}{2} : \frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

Minimo Comune Multiplo di

3, 2 : 6

3, 2

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 2

= 3 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 = 6

= 6

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

6

Per

\frac{x}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

Per

\frac{x}{2} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

Aggiungi elementi simili:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

Unisci

1 - \frac{x ^{2}}{6} : \frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} x

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 xx}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

5 xx = 5 x^{2}

5 xx

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 5 x^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 5 x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

Moltiplicare

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

Cancella il fattore comune:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} + 1} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} = \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x ^{2}}{6}

\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{xx}{3 \cdot 2}

xx = x^{2}

xx

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= \frac{x ^{2}}{3 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{x ^{2}}{6}

= \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Unisci

\frac{x}{3} + \frac{x}{2} : \frac{5 x}{6}

\frac{x}{3} + \frac{x}{2}

Minimo Comune Multiplo di

3, 2 : 6

3, 2

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 2

= 3 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 2 = 6

= 6

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

6

Per

\frac{x}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

2

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{x \cdot 2}{6}

Per

\frac{x}{2} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

3

\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{x \cdot 3}{6}

= \frac{x \cdot 2}{6} + \frac{x \cdot 3}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 2 + x \cdot 3}{6}

Aggiungi elementi simili:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{6}

= \frac{\frac{5 x}{6}}{1 - \frac{x ^{2}}{6}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 x}{6 ( 1 - \frac{x ^{2}}{6} )}

Unisci

1 - \frac{x ^{2}}{6} : \frac{6 - x ^{2}}{6}

1 - \frac{x ^{2}}{6}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 \cdot 6}{6}

= \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{x ^{2}}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 6 - x ^{2}}{6}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 6 = 6

= \frac{6 - x ^{2}}{6}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{1 + \frac{5 x ^{2}}{- x ^{2} + 6}}

Unisci

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}} : \frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} )}{6 - x ^{2}} + \frac{5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 6 - x ^{2} ) + 5 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2} = 6 + 4 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) + 5 x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2}) = 6 - x^{2}

1 \cdot (6 - x^{2})

Moltiplicare:

1 \cdot (6 - x^{2}) = (6 - x^{2})

= (6 - x^{2})

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= 6 - x^{2}

= 6 - x^{2} + 5 x^{2}

Aggiungi elementi simili:

- x^{2} + 5 x^{2} = 4 x^{2}

= 6 + 4 x^{2}

= \frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{5 x}{6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6}} - x}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

Unisci

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x : \frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

\frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - x

Converti l'elemento in frazione:

x = \frac{x 6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \frac{6 - x ^{2}}{6}}

= \frac{5 x}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}} - \frac{x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 x - x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}{6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}}

Moltiplicare

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} : 6 - x^{2}

6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) \cdot 6}{6}

Cancella il fattore comune:

6

= 6 - x^{2}

= \frac{5 x - 6 \cdot \frac{- x ^{2} + 6}{6} x}{6 - x ^{2}}

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6} = x (6 - x^{2})

x \cdot 6 \cdot \frac{6 - x ^{2}}{6}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 6 - x ^{2} ) x \cdot 6}{6}

Cancella il fattore comune:

6

= (6 - x^{2}) x

= \frac{5 x - x ( - x ^{2} + 6 )}{6 - x ^{2}}

Espandi

5 x - (6 - x^{2}) x : - x + x^{3}

5 x - (6 - x^{2}) x

= 5 x - x (6 - x^{2})

Espandi

- x (6 - x^{2}) : - 6 x + x^{3}

- x (6 - x^{2})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 6, c = x^{2}

= - x \cdot 6 - (- x) x^{2}

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 6 x + x^{2} x

x^{2} x = x^{3}

x^{2} x

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x = x^{2 + 1}

= x^{2 + 1}

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= x^{3}

= - 6 x + x^{3}

= 5 x - 6 x + x^{3}

Aggiungi elementi simili:

5 x - 6 x = - x

= - x + x^{3}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}

= \frac{\frac{- x + x ^{3}}{6 - x ^{2}}}{\frac{6 + 4 x ^{2}}{6 - x ^{2}}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - x + x ^{3} ) ( 6 - x ^{2} )}{( 6 - x ^{2} ) ( 6 + 4 x ^{2} )}

Cancella il fattore comune:

6 - x^{2}

= \frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}}

\frac{- x + x ^{3}}{6 + 4 x ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- x + x^{3} = 0

Risolvi

- x + x^{3} = 0 : x = 0, x = - 1, x = 1

- x + x^{3} = 0

Fattorizza

- x + x^{3} : x (x + 1) (x - 1)

- x + x^{3}

Fattorizzare dal termine comune

x : x (x^{2} - 1)

x^{3} - x

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

x^{3} = x^{2} x

= x^{2} x - x

Fattorizzare dal termine comune

x

= x (x^{2} - 1)

= x (x^{2} - 1)

Fattorizza

x^{2} - 1 : (x + 1) (x - 1)

x^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= x^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

x^{2} - 1^{2} = (x + 1) (x - 1)

= (x + 1) (x - 1)

= x (x + 1) (x - 1)

x (x + 1) (x - 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

x = 0 or x + 1 = 0 or x - 1 = 0

Risolvi

x + 1 = 0 : x = - 1

x + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

x + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

x + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

x = - 1

x = - 1

Risolvi

x - 1 = 0 : x = 1

x - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

x - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

x - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

x = 1

x = 1

Le soluzioni sono

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

x = 6, x = - 6

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} - x}{1 + \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{2}}{1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2}} x}

e confrontare con zero

Risolvi

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0 : x = 6, x = - 6

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} - 1 = 0 - 1

Semplificare

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

- \frac{x}{3} \cdot \frac{x}{2} = - 1

Semplificare

- \frac{x ^{2}}{6} = - 1

Moltiplica entrambi i lati per

- 6

(- \frac{x ^{2}}{6}) (- 6) = (- 1) (- 6)

x^{2} = 6

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

x = 6, x = - 6

I seguenti punti sono non definiti

x = 6, x = - 6

Combinare punti non definiti con soluzioni:

x = 0, x = - 1, x = 1

x = 0, x = - 1, x = 1

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

0 :

Vero

0

Inserire in

n = 1

0

Per

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

inserisci la

x = 0

arctan (\frac{0}{3}) + arctan (\frac{0}{2}) = arctan (0)

Affinare

0 = 0

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

- 1 :

Vero

- 1

Inserire in

n = 1

- 1

Per

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

inserisci la

x = - 1

arctan (\frac{- 1}{3}) + arctan (\frac{- 1}{2}) = arctan (- 1)

Affinare

- 0.78539 \dots = - 0.78539 \dots

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

1 :

Vero

1

Inserire in

n = 1

1

Per

arctan (\frac{x}{3}) + arctan (\frac{x}{2}) = arctan (x)

inserisci la

x = 1

arctan (\frac{1}{3}) + arctan (\frac{1}{2}) = arctan (1)

Affinare

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Vero

x = 0, x = - 1, x = 1

Grafico

Esempi popolari

solvefor w,y=arctan(1+4w)

so l v e f or w, y = arctan (1 + 4 w)

cos(8x)=1

cos (8 x) = 1

cos^4(a)=8cos^4(a)-8cos^2(a)+1

cos^{4} (a) = 8 cos^{4} (a) - 8 cos^{2} (a) + 1

sin^2(a)-4sin(a)+3=0

sin^{2} (a) - 4 sin (a) + 3 = 0

4sin^2(x)-4cos(x)-1=0

4 sin^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0