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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)+cos^4(x)=2

Lösung

sin^{2} (x) + cos^{4} (x) = 2

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) + cos^{4} (x) = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

sin^{2} (x) + cos^{4} (x) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + cos^{4} (x) + sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 2 + cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Vereinfache

- 2 + cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x) : cos^{4} (x) - cos^{2} (x) - 1

- 2 + cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{4} (x) - cos^{2} (x) - 2 + 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 1 = - 1

= cos^{4} (x) - cos^{2} (x) - 1

= cos^{4} (x) - cos^{2} (x) - 1

- 1 - cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 1 - u^{2} + u^{4} = 0

- 1 - u^{2} + u^{4} = 0 : u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

- 1 - u^{2} + u^{4} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - u^{2} - 1 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

v^{2} - v - 1 = 0

Löse

v^{2} - v - 1 = 0 : v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v^{2} - v - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

v^{2} - v - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 1, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 + 4

Addiere die Zahlen:

1 + 4 = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 5}{2}

v = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 - 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

v = \frac{1 + 5}{2}, v = \frac{1 - 5}{2}

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{1 + 5}{2} : u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

u^{2} = \frac{1 + 5}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

Löse

u^{2} = \frac{1 - 5}{2} : u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

u^{2} = \frac{1 - 5}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

Die Lösungen sind

u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}, u = - \frac{1 - 5}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 - 5}{2}, cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 - 5}{2}, cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1 - 5}{2} : x = arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 5}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

x = arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 - 5}{2} : x = arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

x = arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

x = arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, x = - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, - arccos \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn, - arccos - \frac{1 - 5}{2} + 2 πn

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Graph

Beliebte Beispiele

(1+sin^2(x))=(4cos(x))^2

(1 + sin^{2} (x)) = (4 cos (x))^{2}

cos(x)=53

cos (x) = 53

sin^2(a)=(1-cos(a))/2

sin^{2} (a) = \frac{1 - cos ( a )}{2}

cos(x)=(-11)/(12)

cos (x) = \frac{- 11}{12}

6sin^2(x)+5cos(x)-2=0

6 sin^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 = 0