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beweisen sec(θ)-tan(θ)=(cos(θ))/(1+sin(θ))

Lösung

beweisen

sec (θ) - tan (θ) = \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (θ) - tan (θ) = \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Manipuliere die linke Seite

sec (θ) - tan (θ)

Drücke mit sin, cos aus

sec (θ) - tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} - tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Multipliziere mit

\frac{1 + sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

= \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ( 1 - sin ( θ ) )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Multipliziere aus

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ)) : 1 - sin^{2} (θ)

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - sin^{2} (θ)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

cos (3 x) = - 1

tan (θ) = - 1

p ro v e (sin (θ) + cos (θ))^{2} = 1 + sin (2 θ)

sin (x) + cos (x) = 2

sin (- \frac{3 π}{4})