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sin(2+i)

Solución

sin (2 + i)

Solución

i \frac{- 1 + e ^{4}}{2 e ^{2}}

Pasos de solución

sin (2 + i)

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

2 sin (i) cos (i)

sin (2 + i)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (i) cos (i)

= 2 sin (i) cos (i)

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sin (i) = i \frac{- 1 + e ^{2}}{2 e}

sin (i)

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sin (0) cosh (1) + i cos (0) sinh (1)

sin (i)

Usar la siguiente identidad:

sin (a + bi) = sin (a) cosh (b) + i cos (a) sinh (b)

= sin (0) cosh (1) + i cos (0) sinh (1)

= sin (0) cosh (1) + i cos (0) sinh (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (0) = 0

sin (0)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cosh (1) = \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

cosh (1)

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2}

\frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2} = \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

\frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2}

Aplicar la regla

a^{1} = a

e^{1} = e

= \frac{e + e ^{- 1}}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{e + \frac{1}{e}}{2}

Simplificar

e + \frac{1}{e}

en una fracción:

\frac{e ^{2} + 1}{e}

e + \frac{1}{e}

Convertir a fracción:

e = \frac{ee}{e}

= \frac{ee}{e} + \frac{1}{e}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{ee + 1}{e}

ee + 1 = e^{2} + 1

ee + 1

ee = e^{2}

ee

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= e^{2}

= e^{2} + 1

= \frac{e ^{2} + 1}{e}

= \frac{\frac{e ^{2} + 1}{e}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{2} + 1}{e 2}

= \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sinh (1) = \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

sinh (1)

Utilizar la identidad hiperbólica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{1} - e ^{- 1}}{2}

\frac{e ^{1} - e ^{- 1}}{2} = \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

\frac{e ^{1} - e ^{- 1}}{2}

Aplicar la regla

a^{1} = a

e^{1} = e

= \frac{e - e ^{- 1}}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{e - \frac{1}{e}}{2}

Simplificar

e - \frac{1}{e}

en una fracción:

\frac{e ^{2} - 1}{e}

e - \frac{1}{e}

Convertir a fracción:

e = \frac{ee}{e}

= \frac{ee}{e} - \frac{1}{e}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{ee - 1}{e}

ee - 1 = e^{2} - 1

ee - 1

ee = e^{2}

ee

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= e^{2}

= e^{2} - 1

= \frac{e ^{2} - 1}{e}

= \frac{\frac{e ^{2} - 1}{e}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{2} - 1}{e 2}

= \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

= 0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} + i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

Simplificar

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} + i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e} : i \frac{- 1 + e ^{2}}{2 e}

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} + i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} = 0

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e} = \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

Multiplicar:

1 \cdot \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e} = \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e}

= \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

= 0 + \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

0 + \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e} = \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e}

= \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

Reescribir

\frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

en la forma binómica:

\frac{e ^{2} - 1}{2 e} i

\frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

Expandir

i (e^{2} - 1) : e^{2} i - i

i (e^{2} - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = e^{2}, c = 1

= i e^{2} - i 1

= e^{2} i - 1 i

Multiplicar:

1 i = i

= e^{2} i - i

= \frac{e ^{2} i - i}{2 e}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{e ^{2} i - i}{2 e} = \frac{e ^{2} i}{2 e} - \frac{i}{2 e}

= \frac{e ^{2} i}{2 e} - \frac{i}{2 e}

Cancelar

\frac{e ^{2} i}{2 e} : \frac{e i}{2}

\frac{e ^{2} i}{2 e}

Eliminar los terminos comunes:

e

= \frac{e i}{2}

= \frac{e i}{2} - \frac{i}{2 e}

Agrupar la parte real y la parte imaginaria del número complejo

= (\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e}) i

\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} = \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e}

Mínimo común múltiplo de

2, 2 e : 2 e

2, 2 e

Mínimo común múltiplo (MCM)

Mínimo común múltiplo de

2, 2 : 2

2, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

2

2

= 2

Multiplicar los numeros:

2 = 2

= 2

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

2

2 e

= 2 e

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{e}{2} :

multiplicar el denominador y el numerador por

e

\frac{e}{2} = \frac{ee}{2 e} = \frac{e ^{2}}{2 e}

= \frac{e ^{2}}{2 e} - \frac{1}{2 e}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

= \frac{e ^{2} - 1}{2 e} i

= \frac{e ^{2} - 1}{2 e} i

= i \frac{- 1 + e ^{2}}{2 e}

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos (i) = \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

cos (i)

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cos (0) cosh (1) - i sin (0) sinh (1)

cos (i)

Usar la siguiente identidad:

cos (a + bi) = cos (a) cosh (b) - i sin (a) sinh (b)

= cos (0) cosh (1) - i sin (0) sinh (1)

= cos (0) cosh (1) - i sin (0) sinh (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (0) = 0

sin (0)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= cos (0) cosh (1) - i 0 \cdot sinh (1)

= cos (0) cosh (1) - i 0 \cdot sinh (1)

Simplificar

= cos (0) cosh (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cosh (1) = \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

cosh (1)

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2}

\frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2} = \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

\frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2}

Aplicar la regla

a^{1} = a

e^{1} = e

= \frac{e + e ^{- 1}}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{e + \frac{1}{e}}{2}

Simplificar

e + \frac{1}{e}

en una fracción:

\frac{e ^{2} + 1}{e}

e + \frac{1}{e}

Convertir a fracción:

e = \frac{ee}{e}

= \frac{ee}{e} + \frac{1}{e}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{ee + 1}{e}

ee + 1 = e^{2} + 1

ee + 1

ee = e^{2}

ee

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= e^{2}

= e^{2} + 1

= \frac{e ^{2} + 1}{e}

= \frac{\frac{e ^{2} + 1}{e}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{2} + 1}{e 2}

= \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

= 1 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

Simplificar

= \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

= 2 i \frac{- 1 + e ^{2}}{2 e} \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

Simplificar

2 i \frac{- 1 + e ^{2}}{2 e} \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} : i \frac{- 1 + e ^{4}}{2 e ^{2}}

2 i \frac{- 1 + e ^{2}}{2 e} \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{( - 1 + e ^{2} ) ( e ^{2} + 1 ) \cdot 2 i}{2 e 2 e}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{( - 1 + e ^{2} ) ( e ^{2} + 1 ) i}{e 2 e}

e 2 e = 2 e^{2}

e 2 e

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= 2 e^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 e^{2}

= \frac{i ( e ^{2} - 1 ) ( e ^{2} + 1 )}{2 e ^{2}}

Reescribir

\frac{( - 1 + e ^{2} ) ( e ^{2} + 1 ) i}{2 e ^{2}}

en la forma binómica:

\frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}} i

\frac{( - 1 + e ^{2} ) ( e ^{2} + 1 ) i}{2 e ^{2}}

Expandir

(- 1 + e^{2}) (e^{2} + 1) i : e^{4} i - i

(- 1 + e^{2}) (e^{2} + 1) i

= i (- 1 + e^{2}) (e^{2} + 1)

Expandir

(- 1 + e^{2}) (e^{2} + 1) : e^{4} - 1

(- 1 + e^{2}) (e^{2} + 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = e^{2}, b = 1

= (e^{2})^{2} - 1^{2}

Simplificar

(e^{2})^{2} - 1^{2} : e^{4} - 1

(e^{2})^{2} - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (e^{2})^{2} - 1

(e^{2})^{2} = e^{4}

(e^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= e^{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= e^{4}

= e^{4} - 1

= e^{4} - 1

= i (e^{4} - 1)

Expandir

i (e^{4} - 1) : e^{4} i - i

i (e^{4} - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = e^{4}, c = 1

= i e^{4} - i 1

= e^{4} i - 1 i

Multiplicar:

1 i = i

= e^{4} i - i

= e^{4} i - i

= \frac{e ^{4} i - i}{2 e ^{2}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{e ^{4} i - i}{2 e ^{2}} = \frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}} - \frac{i}{2 e ^{2}}

= \frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}} - \frac{i}{2 e ^{2}}

Cancelar

\frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}} : \frac{e ^{2} i}{2}

\frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}}

Cancelar

\frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}} : \frac{e ^{2} i}{2}

\frac{e ^{4} i}{2 e ^{2}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{e ^{4}}{e ^{2}} = e^{4 - 2}

= \frac{i e ^{4 - 2}}{2}

Restar:

4 - 2 = 2

= \frac{e ^{2} i}{2}

= \frac{e ^{2} i}{2}

= \frac{e ^{2} i}{2} - \frac{i}{2 e ^{2}}

Agrupar la parte real y la parte imaginaria del número complejo

= (\frac{e ^{2}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2}}) i

\frac{e ^{2}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2}} = \frac{e ^{4} - 1}{2 e ^{2}}

\frac{e ^{2}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2}}

Mínimo común múltiplo de

2, 2 e^{2} : 2 e^{2}

2, 2 e^{2}

Mínimo común múltiplo (MCM)

Mínimo común múltiplo de

2, 2 : 2

2, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

2

2

= 2

Multiplicar los numeros:

2 = 2

= 2

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

2

2 e^{2}

= 2 e^{2}

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para