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sin(2pii)

解答

sin (2 πi)

解答

i \frac{- 1 + e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

求解步骤

sin (2 πi)

使用三角恒等式改写:

sin (0) cosh (2 π) + i cos (0) sinh (2 π)

sin (2 πi)

利用以下特性:

sin (a + bi) = sin (a) cosh (b) + i cos (a) sinh (b)

= sin (0) cosh (2 π) + i cos (0) sinh (2 π)

= sin (0) cosh (2 π) + i cos (0) sinh (2 π)

使用以下普通恒等式:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

使用三角恒等式改写:

cosh (2 π) = \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

cosh (2 π)

使用双曲函数恒等式:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{2 π} + e ^{- 2 π}}{2}

\frac{e ^{2 π} + e ^{- 2 π}}{2} = \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

\frac{e ^{2 π} + e ^{- 2 π}}{2}

使用指数法则:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{2 π} + \frac{1}{e ^{2 π}}}{2}

化简

e^{2 π} + \frac{1}{e ^{2 π}} : \frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} + \frac{1}{e ^{2 π}}

将项转换为分式:

e^{2 π} = \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}} + \frac{1}{e ^{2 π}}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} e^{2 π} + 1 = e^{4 π} + 1

e^{2 π} e^{2 π} + 1

e^{2 π} e^{2 π} = e^{4 π}

e^{2 π} e^{2 π}

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{2 π} e^{2 π} = e^{2 π + 2 π}

= e^{2 π + 2 π}

同类项相加:

2 π + 2 π = 4 π

= e^{4 π}

= e^{4 π} + 1

= \frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π}}

= \frac{\frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π}}}{2}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π} \cdot 2}

= \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

使用以下普通恒等式:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

使用三角恒等式改写:

sinh (2 π) = \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

sinh (2 π)

使用双曲函数恒等式:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2}

\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2} = \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2}

使用指数法则:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{2 π} - \frac{1}{e ^{2 π}}}{2}

化简

e^{2 π} - \frac{1}{e ^{2 π}} : \frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} - \frac{1}{e ^{2 π}}

将项转换为分式:

e^{2 π} = \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}} - \frac{1}{e ^{2 π}}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π} - 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} e^{2 π} - 1 = e^{4 π} - 1

e^{2 π} e^{2 π} - 1

e^{2 π} e^{2 π} = e^{4 π}

e^{2 π} e^{2 π}

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{2 π} e^{2 π} = e^{2 π + 2 π}

= e^{2 π + 2 π}

同类项相加:

2 π + 2 π = 4 π

= e^{4 π}

= e^{4 π} - 1

= \frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π}}

= \frac{\frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π}}}{2}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π} \cdot 2}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

= 0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

化简

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} : i \frac{- 1 + e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} = 0

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

使用法则

0 \cdot a = 0

= 0

i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} = \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

乘以:

1 \cdot \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}} = \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}}

= \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

= 0 + \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

0 + \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}} = \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}}

= \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

将

\frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

改写成标准复数形式:

\frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} i

\frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

乘开

i (e^{4 π} - 1) : i e^{4 π} - i

i (e^{4 π} - 1)

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = e^{4 π}, c = 1

= i e^{4 π} - i 1

= i e^{4 π} - 1 i

乘以:

1 i = i

= i e^{4 π} - i

= \frac{i e ^{4 π} - i}{2 e ^{2 π}}

使用分式法则:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{i e ^{4 π} - i}{2 e ^{2 π}} = \frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} - \frac{i}{2 e ^{2 π}}

= \frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} - \frac{i}{2 e ^{2 π}}

消掉

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} : \frac{i e ^{2 π}}{2}

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

消掉

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} : \frac{i e ^{2 π}}{2}

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

使用指数法则:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{e ^{4 π}}{e ^{2 π}} = e^{4 π - 2 π}

= \frac{i e ^{4 π - 2 π}}{2}

数字相减:

4 π - 2 π = 2 π

= \frac{i e ^{2 π}}{2}

= \frac{i e ^{2 π}}{2}

= \frac{i e ^{2 π}}{2} - \frac{i}{2 e ^{2 π}}

将复数的实部和虚部分组

= (\frac{e ^{2 π}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2 π}}) i

\frac{e ^{2 π}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2 π}} = \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

\frac{e ^{2 π}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2 π}}

2, 2 e^{2 π}

的最小公倍数:

2 e^{2 π}

2, 2 e^{2 π}

最小公倍数 (LCM)

2, 2

的最小公倍数:

2

2, 2

最小公倍数 (LCM)

2

质因数分解:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

2

质因数分解:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

将每个因子乘以它在

2

或

2

中出现的最多次数

= 2

数字相乘:

2 = 2

= 2

计算出由出现在

2

或

2 e^{2 π}

中的因子组成的表达式

= 2 e^{2 π}

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

2 e^{2 π}

对于

\frac{e ^{2 π}}{2} :

将分母和分子乘以

e^{2 π}

\frac{e ^{2 π}}{2} = \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{2 e ^{2 π}} = \frac{e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

= \frac{e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} - \frac{1}{2 e ^{2 π}}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} i

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} i

= i \frac{- 1 + e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

流行的例子

cos(arccos(-0.6))

cos (arccos (- 0.6))

1.5 \cdot sin (3 0^{\circ})

sin(1/2 arcsin(-7/25))

sin (\frac{1}{2} arcsin (- \frac{7}{25}))

cos(36)-cos(72)

cos (3 6^{\circ}) - cos (7 2^{\circ})

(3500sin(2))/(sin(58))

\frac{3500 sin ( 2 )}{sin ( 5 8 ^{\circ} )}