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Popolare Trigonometria >

sin(2pii)

Soluzione

sin (2 πi)

Soluzione

i \frac{- 1 + e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

Fasi della soluzione

sin (2 πi)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

sin (0) cosh (2 π) + i cos (0) sinh (2 π)

sin (2 πi)

Usare l'identità seguente:

sin (a + bi) = sin (a) cosh (b) + i cos (a) sinh (b)

= sin (0) cosh (2 π) + i cos (0) sinh (2 π)

= sin (0) cosh (2 π) + i cos (0) sinh (2 π)

Usare la seguente identità triviale:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

cosh (2 π) = \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

cosh (2 π)

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{2 π} + e ^{- 2 π}}{2}

\frac{e ^{2 π} + e ^{- 2 π}}{2} = \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

\frac{e ^{2 π} + e ^{- 2 π}}{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{2 π} + \frac{1}{e ^{2 π}}}{2}

Unisci

e^{2 π} + \frac{1}{e ^{2 π}} : \frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} + \frac{1}{e ^{2 π}}

Converti l'elemento in frazione:

e^{2 π} = \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}} + \frac{1}{e ^{2 π}}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} e^{2 π} + 1 = e^{4 π} + 1

e^{2 π} e^{2 π} + 1

e^{2 π} e^{2 π} = e^{4 π}

e^{2 π} e^{2 π}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{2 π} e^{2 π} = e^{2 π + 2 π}

= e^{2 π + 2 π}

Aggiungi elementi simili:

2 π + 2 π = 4 π

= e^{4 π}

= e^{4 π} + 1

= \frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π}}

= \frac{\frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π}}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{4 π} + 1}{e ^{2 π} \cdot 2}

= \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

Usare la seguente identità triviale:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

sinh (2 π) = \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

sinh (2 π)

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2}

\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2} = \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \frac{e ^{2 π} - \frac{1}{e ^{2 π}}}{2}

Unisci

e^{2 π} - \frac{1}{e ^{2 π}} : \frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} - \frac{1}{e ^{2 π}}

Converti l'elemento in frazione:

e^{2 π} = \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{e ^{2 π}} - \frac{1}{e ^{2 π}}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2 π} e ^{2 π} - 1}{e ^{2 π}}

e^{2 π} e^{2 π} - 1 = e^{4 π} - 1

e^{2 π} e^{2 π} - 1

e^{2 π} e^{2 π} = e^{4 π}

e^{2 π} e^{2 π}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{2 π} e^{2 π} = e^{2 π + 2 π}

= e^{2 π + 2 π}

Aggiungi elementi simili:

2 π + 2 π = 4 π

= e^{4 π}

= e^{4 π} - 1

= \frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π}}

= \frac{\frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π}}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{e ^{2 π} \cdot 2}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

= 0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

Semplificare

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} : i \frac{- 1 + e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} + i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}} = 0

0 \cdot \frac{e ^{4 π} + 1}{2 e ^{2 π}}

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} = \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

i 1 \cdot \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

Moltiplicare:

1 \cdot \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}} = \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}}

= \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

= 0 + \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

0 + \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}} = \frac{( e ^{4 π} - 1 ) i}{2 e ^{2 π}}

= \frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

Riscrivi

\frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

in forma complessa standard:

\frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} i

\frac{i ( e ^{4 π} - 1 )}{2 e ^{2 π}}

Espandi

i (e^{4 π} - 1) : i e^{4 π} - i

i (e^{4 π} - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = e^{4 π}, c = 1

= i e^{4 π} - i 1

= i e^{4 π} - 1 i

Moltiplicare:

1 i = i

= i e^{4 π} - i

= \frac{i e ^{4 π} - i}{2 e ^{2 π}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{i e ^{4 π} - i}{2 e ^{2 π}} = \frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} - \frac{i}{2 e ^{2 π}}

= \frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} - \frac{i}{2 e ^{2 π}}

Cancellare

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} : \frac{i e ^{2 π}}{2}

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

Cancellare

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} : \frac{i e ^{2 π}}{2}

\frac{i e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

Applica la regola degli esponenti:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{e ^{4 π}}{e ^{2 π}} = e^{4 π - 2 π}

= \frac{i e ^{4 π - 2 π}}{2}

Sottrai i numeri:

4 π - 2 π = 2 π

= \frac{i e ^{2 π}}{2}

= \frac{i e ^{2 π}}{2}

= \frac{i e ^{2 π}}{2} - \frac{i}{2 e ^{2 π}}

Raggruppare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso

= (\frac{e ^{2 π}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2 π}}) i

\frac{e ^{2 π}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2 π}} = \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

\frac{e ^{2 π}}{2} - \frac{1}{2 e ^{2 π}}

Minimo Comune Multiplo di

2, 2 e^{2 π} : 2 e^{2 π}

2, 2 e^{2 π}

Minimo comune multiplo (mcm)

Minimo Comune Multiplo di

2, 2 : 2

2, 2

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 2 o 2

= 2

Moltiplica i numeri:

2 = 2

= 2

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

2

2 e^{2 π}

= 2 e^{2 π}

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

2 e^{2 π}

Per

\frac{e ^{2 π}}{2} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

e^{2 π}

\frac{e ^{2 π}}{2} = \frac{e ^{2 π} e ^{2 π}}{2 e ^{2 π}} = \frac{e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

= \frac{e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}} - \frac{1}{2 e ^{2 π}}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}}

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} i

= \frac{e ^{4 π} - 1}{2 e ^{2 π}} i

= i \frac{- 1 + e ^{4 π}}{2 e ^{2 π}}

Esempi popolari

cos(arccos(-0.6))

cos (arccos (- 0.6))

1.5*sin(30)

1.5 \cdot sin (3 0^{\circ})

sin(1/2 arcsin(-7/25))

sin (\frac{1}{2} arcsin (- \frac{7}{25}))

cos(36)-cos(72)

cos (3 6^{\circ}) - cos (7 2^{\circ})

(3500sin(2))/(sin(58))

\frac{3500 sin ( 2 )}{sin ( 5 8 ^{\circ} )}