展開する (-e^{-x}cos(x)-e^{-x}sin(x))^2

解

展開する

(- e^{- x} cos (x) - e^{- x} sin (x))^{2}

e^{- 2 x} (sin (2 x) + 1)

解答ステップ

(- e^{- x} cos (x) - e^{- x} sin (x))^{2}

完全平方式を適用する:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = - e^{- x} cos (x), b = e^{- x} sin (x)

= (- e^{- x} cos (x))^{2} - 2 (- e^{- x} cos (x)) e^{- x} sin (x) + (e^{- x} sin (x))^{2}

簡素化

(- e^{- x} cos (x))^{2} - 2 (- e^{- x} cos (x)) e^{- x} sin (x) + (e^{- x} sin (x))^{2} : e^{- 2 x} cos^{2} (x) + 2 e^{- 2 x} cos (x) sin (x) + e^{- 2 x} sin^{2} (x)

= e^{- 2 x} cos^{2} (x) + 2 e^{- 2 x} cos (x) sin (x) + e^{- 2 x} sin^{2} (x)

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= cos^{2} (x) e^{- 2 x} + sin^{2} (x) e^{- 2 x} + sin (2 x) e^{- 2 x}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= e^{- 2 x} (sin (2 x) + 1)