簡約-(1/3 log_{2}(1/3)+2/3 log_{2}(2/3))

解

簡約

- (\frac{1}{3} lo g_{2} (\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} lo g_{2} (\frac{2}{3}))

- lo g_{2} \frac{3 \frac{4}{9}}{3 3}

十進法表記

0.91829 \dots

解答ステップ

- (\frac{1}{3} lo g_{2} (\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} lo g_{2} (\frac{2}{3}))

\frac{1}{3} lo g_{2} (\frac{1}{3}) = - \frac{1}{3} lo g_{2} (3)

= - (- \frac{1}{3} lo g_{2} (3) + \frac{2}{3} lo g_{2} (\frac{2}{3}))

- \frac{1}{3} lo g_{2} (3) = - lo g_{2} (3^{\frac{1}{3}})

\frac{2}{3} lo g_{2} (\frac{2}{3}) = lo g_{2} ((\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}})

= - (- lo g_{2} (3^{\frac{1}{3}}) + lo g_{2} ((\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}))

対数の規則を適用する:

lo g_{a} (x) - lo g_{a} (y) = lo g_{a} (\frac{x}{y})

lo g_{2} ((\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}) - lo g_{2} (3^{\frac{1}{3}}) = lo g_{2} \frac{( \frac{2}{3} ) ^{\frac{2}{3}}}{3 ^{\frac{1}{3}}}

= - lo g_{2} \frac{( \frac{2}{3} ) ^{\frac{2}{3}}}{3 ^{\frac{1}{3}}}

(\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}} = 3 \frac{4}{9}

= - lo g_{2} \frac{3 \frac{4}{9}}{3 ^{\frac{1}{3}}}

指数の規則を適用する:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{3}} = 33

= - lo g_{2} \frac{3 \frac{4}{9}}{3 3}