簡約-8/9 log_{2}(8/9)-1/9 log_{2}(1/9)

解

簡約

- \frac{8}{9} lo g_{2} (\frac{8}{9}) - \frac{1}{9} lo g_{2} (\frac{1}{9})

lo g_{2} (\frac{9 3 ^{2} 9 9 ^{8}}{4 3 2 ^{2}})

十進法表記

0.50325 \dots

解答ステップ

- \frac{8}{9} lo g_{2} (\frac{8}{9}) - \frac{1}{9} lo g_{2} (\frac{1}{9})

\frac{1}{9} lo g_{2} (\frac{1}{9}) = - \frac{2}{9} lo g_{2} (3)

= - \frac{8}{9} lo g_{2} (\frac{8}{9}) - (- \frac{2}{9} lo g_{2} (3))

規則を適用する:

a - (- b) = a + b

- \frac{8}{9} lo g_{2} (\frac{8}{9}) - (- \frac{2}{9} lo g_{2} (3)) = - \frac{8}{9} lo g_{2} (\frac{8}{9}) + \frac{2}{9} lo g_{2} (3)

= - \frac{8}{9} lo g_{2} (\frac{8}{9}) + \frac{2}{9} lo g_{2} (3)

- \frac{8}{9} lo g_{2} (\frac{8}{9}) = - lo g_{2} ((\frac{8}{9})^{\frac{8}{9}})

\frac{2}{9} lo g_{2} (3) = lo g_{2} (3^{\frac{2}{9}})

= - lo g_{2} ((\frac{8}{9})^{\frac{8}{9}}) + lo g_{2} (3^{\frac{2}{9}})

対数の規則を適用する:

lo g_{a} (x) - lo g_{a} (y) = lo g_{a} (\frac{x}{y})

lo g_{2} (3^{\frac{2}{9}}) - lo g_{2} ((\frac{8}{9})^{\frac{8}{9}}) = lo g_{2} \frac{3 ^{\frac{2}{9}}}{( \frac{8}{9} ) ^{\frac{8}{9}}}

= lo g_{2} \frac{3 ^{\frac{2}{9}}}{( \frac{8}{9} ) ^{\frac{8}{9}}}

\frac{3 ^{\frac{2}{9}}}{( \frac{8}{9} ) ^{\frac{8}{9}}} = \frac{3 ^{\frac{2}{9}} \cdot 9 ^{\frac{8}{9}}}{4 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}}

= lo g_{2} (\frac{3 ^{\frac{2}{9}} \cdot 9 ^{\frac{8}{9}}}{4 \cdot 2 ^{\frac{2}{3}}})

3^{\frac{2}{9}} = 9 3^{2}

= lo g_{2} (\frac{9 3 ^{2} 9 9 ^{8}}{4 3 2 ^{2}})

9^{\frac{8}{9}} = 9 9^{8}

= lo g_{2} (\frac{9 3 ^{2} 9 9 ^{8}}{4 3 2 ^{2}})

2^{\frac{2}{3}} = 3 2^{2}

= lo g_{2} (\frac{9 3 ^{2} 9 9 ^{8}}{4 3 2 ^{2}})