展開する (1+e^{2x})^4

解

展開する

(1 + e^{2 x})^{4}

1 + 4 e^{2 x} + 6 e^{4 x} + 4 e^{6 x} + e^{8 x}

解答ステップ

(1 + e^{2 x})^{4}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = 1, b = e^{2 x}

= i = 0 \sum 4 (i 4) \cdot 1^{(4 - i)} (e^{2 x})^{i}

総和を展開する

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} \cdot 1^{4} (e^{2 x})^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} \cdot 1^{3} (e^{2 x})^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} \cdot 1^{2} (e^{2 x})^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} \cdot 1^{1} (e^{2 x})^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} \cdot 1^{0} (e^{2 x})^{4}

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} \cdot 1^{4} (e^{2 x})^{0} = 1

簡素化

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} \cdot 1^{3} (e^{2 x})^{1} : 4 e^{2 x}

簡素化

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} \cdot 1^{2} (e^{2 x})^{2} : 6 e^{4 x}

簡素化

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} \cdot 1^{1} (e^{2 x})^{3} : 4 e^{6 x}

簡素化

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} \cdot 1^{0} (e^{2 x})^{4} : e^{8 x}

= 1 + 4 e^{2 x} + 6 e^{4 x} + 4 e^{6 x} + e^{8 x}