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展開する (e^x-e^{-x})^5

解

展開する

(e^{x} - e^{- x})^{5}

解

e^{5 x} - 5 e^{3 x} + 10 e^{x} - 10 e^{- x} + 5 e^{- 3 x} - e^{- 5 x}

解答ステップ

(e^{x} - e^{- x})^{5}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = e^{x}, b = - e^{- x}

= i = 0 \sum 5 (i 5) (e^{x})^{(5 - i)} (- e^{- x})^{i}

総和を展開する

= \frac{5 !}{0 ! ( 5 - 0 ) !} (e^{x})^{5} (- e^{- x})^{0} + \frac{5 !}{1 ! ( 5 - 1 ) !} (e^{x})^{4} (- e^{- x})^{1} + \frac{5 !}{2 ! ( 5 - 2 ) !} (e^{x})^{3} (- e^{- x})^{2} + \frac{5 !}{3 ! ( 5 - 3 ) !} (e^{x})^{2} (- e^{- x})^{3} + \frac{5 !}{4 ! ( 5 - 4 ) !} (e^{x})^{1} (- e^{- x})^{4} + \frac{5 !}{5 ! ( 5 - 5 ) !} (e^{x})^{0} (- e^{- x})^{5}

簡素化

\frac{5 !}{0 ! ( 5 - 0 ) !} (e^{x})^{5} (- e^{- x})^{0} : e^{5 x}

簡素化

\frac{5 !}{1 ! ( 5 - 1 ) !} (e^{x})^{4} (- e^{- x})^{1} : - 5 e^{3 x}

簡素化

\frac{5 !}{2 ! ( 5 - 2 ) !} (e^{x})^{3} (- e^{- x})^{2} : 10 e^{x}

簡素化

\frac{5 !}{3 ! ( 5 - 3 ) !} (e^{x})^{2} (- e^{- x})^{3} : - 10 e^{- x}

簡素化

\frac{5 !}{4 ! ( 5 - 4 ) !} (e^{x})^{1} (- e^{- x})^{4} : 5 e^{- 3 x}

簡素化

\frac{5 !}{5 ! ( 5 - 5 ) !} (e^{x})^{0} (- e^{- x})^{5} : - e^{- 5 x}

= e^{5 x} - 5 e^{3 x} + 10 e^{x} - 10 e^{- x} + 5 e^{- 3 x} - e^{- 5 x}

人気の例

展開する (4x)/((3x^2-1)^2)

e x p an d \frac{4 x}{( 3 x ^{2} - 1 ) ^{2}}

展開する ((2a^2b^4-a^4b)^3)/8

e x p an d \frac{( 2 a ^{2} b ^{4} - a ^{4} b ) ^{3}}{8}

展開する (2(s+1)^2)/((s+2))

e x p an d \frac{2 ( s + 1 ) ^{2}}{( s + 2 )}

展開する (5b,3,-c)(6,a,2)

e x p an d (5 b, 3, - c) (6, a, 2)

展開する e^x(x+x^2)

e x p an d e^{x} (x + x^{2})