展開する ((z-i)^3)/((z^2+1)^3)

解

展開する

\frac{( z - i ) ^{3}}{( z ^{2} + 1 ) ^{3}}

\frac{z ^{3} - 3 z}{1 + z ^{6} + 3 z ^{2} + 3 z ^{4}} + i \frac{1 - 3 z ^{2}}{1 + z ^{6} + 3 z ^{2} + 3 z ^{4}}

解答ステップ

\frac{( z - i ) ^{3}}{( z ^{2} + 1 ) ^{3}}

(z^{2} + 1)^{3} = z^{6} + 3 z^{4} + 3 z^{2} + 1

= \frac{( z - i ) ^{3}}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1}

(z - i)^{3} = z^{3} - 3 i z^{2} - 3 z + i

= \frac{z ^{3} - 3 i z ^{2} - 3 z + i}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1}

標準的な複素数形式で

\frac{z ^{3} - 3 i z ^{2} - 3 z + i}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1}

を書き換える:

\frac{z ^{3} - 3 z}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1} + \frac{- 3 z ^{2} + 1}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1} i

= \frac{z ^{3} - 3 z}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1} + \frac{- 3 z ^{2} + 1}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1} i