展開する (e^{jt}-e^{-jt})^4

解

展開する

(e^{j t} - e^{- j t})^{4}

e^{4 j t} - 4 e^{2 j t} + 6 - 4 e^{- 2 j t} + e^{- 4 j t}

解答ステップ

(e^{j t} - e^{- j t})^{4}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = e^{j t}, b = - e^{- j t}

= i = 0 \sum 4 (i 4) (e^{j t})^{(4 - i)} (- e^{- j t})^{i}

総和を展開する

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{j t})^{4} (- e^{- j t})^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{j t})^{3} (- e^{- j t})^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{j t})^{2} (- e^{- j t})^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{j t})^{1} (- e^{- j t})^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{j t})^{0} (- e^{- j t})^{4}

簡素化

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{j t})^{4} (- e^{- j t})^{0} : e^{4 j t}

簡素化

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{j t})^{3} (- e^{- j t})^{1} : - 4 e^{2 j t}

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{j t})^{2} (- e^{- j t})^{2} = 6

簡素化

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{j t})^{1} (- e^{- j t})^{3} : - 4 e^{- 2 j t}

簡素化

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{j t})^{0} (- e^{- j t})^{4} : e^{- 4 j t}

= e^{4 j t} - 4 e^{2 j t} + 6 - 4 e^{- 2 j t} + e^{- 4 j t}