化简 ln((1+e^x)^{-e^{-x}}e^{1/(1+e^x)})

解答

化简

ln ((1 + e^{x})^{- e^{- x}} e^{\frac{1}{1 + e ^{x}}})

- e^{- x} ln (1 + e^{x}) + \frac{1}{1 + e ^{x}}

求解步骤

ln ((1 + e^{x})^{- e^{- x}} e^{\frac{1}{1 + e ^{x}}})

使用对数计算法则:

lo g_{c} (ab) = lo g_{c} (a) + lo g_{c} (b)

ln ((1 + e^{x})^{- e^{- x}} e^{\frac{1}{1 + e ^{x}}}) = ln ((1 + e^{x})^{- e^{- x}}) + ln (e^{\frac{1}{1 + e ^{x}}})

= ln ((e^{x} + 1)^{- e^{- x}}) + ln (e^{\frac{1}{e ^{x} + 1}})

使用对数计算法则:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

ln ((1 + e^{x})^{- e^{- x}}) = - e^{- x} ln (1 + e^{x})

= - e^{- x} ln (1 + e^{x}) + ln (e^{\frac{1}{1 + e ^{x}}})

使用对数计算法则:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

ln (e^{\frac{1}{1 + e ^{x}}}) = \frac{1}{1 + e ^{x}} ln (e)

= - e^{- x} ln (1 + e^{x}) + \frac{1}{1 + e ^{x}} ln (e)

\frac{1}{1 + e ^{x}} ln (e) = \frac{1}{1 + e ^{x}}

= - e^{- x} ln (e^{x} + 1) + \frac{1}{e ^{x} + 1}

s im pl i f y ln (\frac{x ^{2} - 4 + x}{2})

s im pl i f y ln (2 x) \cdot 2

j o in 2 ln (- 2 + 2)

s im pl i f y 237.3 \cdot ln (\frac{11.11}{6.11})

s im pl i f y ln ∣ x ∣ + \frac{3}{2} ln x^{2} + 6