n=1+(9/10)^n

Lösung

n = 1 + (\frac{9}{10})^{n}

n = - \frac{W _{0} ( - \frac{9 l n ( \frac{9}{10} )}{10} ) - ln ( \frac{9}{10} )}{ln ( \frac{9}{10} )}

Dezimale

n = 1.82506 \dots

Schritte zur Lösung

n = 1 + (\frac{9}{10})^{n}

n = 1 + (\frac{9}{10})^{n}

für die Lambert-Form vorbereiten:

1 = (n - 1) e^{- l n (\frac{9}{10}) n}

Schreibe die Gleichung um mit

ln (\frac{9}{10}) (- n + 1) = u

und

n = - \frac{u - ln ( \frac{9}{10} )}{ln ( \frac{9}{10} )}

1 = ((- \frac{u - ln ( \frac{9}{10} )}{ln ( \frac{9}{10} )}) - 1) e^{- l n (\frac{9}{10}) (- \frac{u - l n ( \frac{9}{10} )}{l n ( \frac{9}{10} )})}

Vereinfache

1 = e^{u - l n (\frac{9}{10})} (- \frac{u - ln ( \frac{9}{10} )}{ln ( \frac{9}{10} )} - 1)

1 = e^{u - l n (\frac{9}{10})} (- \frac{u - ln ( \frac{9}{10} )}{ln ( \frac{9}{10} )} - 1)

in Lambert-Form umschreiben:

e^{u} u = - \frac{9 ln ( \frac{9}{10} )}{10}

Löse

e^{u} u = - \frac{9 ln ( \frac{9}{10} )}{10} : u = W_{0} (- \frac{9 ln ( \frac{9}{10} )}{10})

u = W_{0} (- \frac{9 ln ( \frac{9}{10} )}{10})

Setze

u = ln (\frac{9}{10}) (- n + 1) w i e d er e in,

löse für

n

Löse

ln (\frac{9}{10}) (- n + 1) = W_{0} (- \frac{9 ln ( \frac{9}{10} )}{10}) : n = - \frac{W _{0} ( - \frac{9 l n ( \frac{9}{10} )}{10} ) - ln ( \frac{9}{10} )}{ln ( \frac{9}{10} )}

n = - \frac{W _{0} ( - \frac{9 l n ( \frac{9}{10} )}{10} ) - ln ( \frac{9}{10} )}{ln ( \frac{9}{10} )}

2^{2} x + 3 + 2^{x} + 3 = 1 + 2^{x}

(\frac{1}{32})^{x + 2} = 8^{x + 1}

2^{x} - 1 + 2^{x} + 2^{x} + 1 = 7

3^{2 x - 5} + 9^{x - 2} = 4

(\frac{1}{16})^{x} = (\frac{1}{8})^{6}