integral of ((1+t)/t)^3

解

\int (\frac{1 + t}{t})^{3} d t

\frac{( 1 + t ) ^{3}}{t ^{2}} + 3 (ln ∣ t ∣ - \frac{2}{t} - \frac{1}{2 t ^{2}}) + C

解答ステップ

\int (\frac{1 + t}{t})^{3} d t

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \int \frac{( 1 + t ) ^{3}}{t ^{3}} d t

部分積分を適用する

= \frac{( 1 + t ) ^{3}}{t ^{2}} - \int - \frac{3 ( t + 1 ) ^{2}}{t ^{3}} d t

\int - \frac{3 ( t + 1 ) ^{2}}{t ^{3}} d t = - 3 (ln ∣ t ∣ - \frac{2}{t} - \frac{1}{2 t ^{2}})

= \frac{( 1 + t ) ^{3}}{t ^{2}} - (- 3 (ln ∣ t ∣ - \frac{2}{t} - \frac{1}{2 t ^{2}}))

簡素化

= \frac{( 1 + t ) ^{3}}{t ^{2}} + 3 (ln ∣ t ∣ - \frac{2}{t} - \frac{1}{2 t ^{2}})

定数を解答に追加する

= \frac{( 1 + t ) ^{3}}{t ^{2}} + 3 (ln ∣ t ∣ - \frac{2}{t} - \frac{1}{2 t ^{2}}) + C