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integral of (3x^2)/(sqrt(3+x^2))

Lösung

\int \frac{3 x ^{2}}{3 + x ^{2}} d x

9 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (3 + x^{2}) + \frac{1}{6} x 3 + x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 x ^{2}}{3 + x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{x ^{2}}{3 + x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 3 \cdot \int 3 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 3 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot 3 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 3 \cdot 3 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \cdot 3 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 3 \cdot 3 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{3} x)

ein

= 3 \cdot 3 (- ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{3} x)) tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x)))

Vereinfache

3 \cdot 3 (- ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{3} x)) tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{3} x)) + sec (arctan (\frac{1}{3} x))) : 9 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (3 + x^{2}) + \frac{1}{6} x 3 + x^{2})

= 9 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (3 + x^{2}) + \frac{1}{6} x 3 + x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 9 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (3 + x^{2}) + \frac{1}{6} x 3 + x^{2}) + C

s im pl i f y \frac{3}{2 x + 3 y}

t an g e n t f (x) = 9 x - 2 x^{2}

\int \frac{1}{2 - ( x - 1 ) ^{2}} d x

\frac{d y}{d x} = k y (1 - y)

\int \frac{x ^{2} - 22}{x ^{3} - 2 x ^{2} + x} d x