integral of 2/(e^{-x)+1}

解

\int \frac{2}{e ^{- x} + 1} d x

2 (ln e^{- x} + 1 + x) + C

解答ステップ

\int \frac{2}{e ^{- x} + 1} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{e ^{- x} + 1} d x

\frac{1}{e ^{- x} + 1} = - \frac{e ^{- x}}{e ^{- x} + 1} + 1

= 2 \cdot \int - \frac{e ^{- x}}{e ^{- x} + 1} + 1 d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int \frac{e ^{- x}}{e ^{- x} + 1} d x + \int 1 d x)

\int \frac{e ^{- x}}{e ^{- x} + 1} d x = - ln e^{- x} + 1

\int 1 d x = x

= 2 (- (- ln e^{- x} + 1) + x)

簡素化

= 2 (ln e^{- x} + 1 + x)

定数を解答に追加する

= 2 (ln e^{- x} + 1 + x) + C