integral of (x+4)sin(npix)

解

\int (x + 4) sin (nπ x) d x

- \frac{1}{πn} x cos (πn x) + \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} sin (πn x) - \frac{4}{πn} cos (πn x) + C

解答ステップ

\int (x + 4) sin (nπ x) d x

拡張

(x + 4) sin (nπ x) : x sin (πn x) + 4 sin (πn x)

= \int x sin (πn x) + 4 sin (πn x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x sin (πn x) d x + \int 4 sin (πn x) d x

\int x sin (πn x) d x = - \frac{1}{πn} x cos (πn x) + \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} sin (πn x)

\int 4 sin (πn x) d x = - \frac{4}{πn} cos (πn x)

= - \frac{1}{πn} x cos (πn x) + \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} sin (πn x) - \frac{4}{πn} cos (πn x)

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{πn} x cos (πn x) + \frac{1}{π ^{2} n ^{2}} sin (πn x) - \frac{4}{πn} cos (πn x) + C