integral of e^{-st}sin(3t)

Lösung

\int e^{- s t} sin (3 t) d t

- \frac{3 e ^{- s t} cos ( 3 t )}{9 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( 3 t )}{9 + s ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s t} sin (3 t) d t

Wende die partielle Integration an

= - \frac{1}{3} e^{- s t} cos (3 t) - \int \frac{1}{3} s e^{- s t} cos (3 t) d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{3} e^{- s t} cos (3 t) - \frac{1}{3} s \cdot \int e^{- s t} cos (3 t) d t

Vereinfache

\frac{1}{3} s : \frac{s}{3}

= - \frac{1}{3} e^{- s t} cos (3 t) - \frac{s}{3} \cdot \int e^{- s t} cos (3 t) d t

Wende die partielle Integration an

= - \frac{1}{3} e^{- s t} cos (3 t) - \frac{s}{3} (\frac{1}{3} e^{- s t} sin (3 t) - \int - \frac{1}{3} s e^{- s t} sin (3 t) d t)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{3} e^{- s t} cos (3 t) - \frac{s}{3} (\frac{1}{3} e^{- s t} sin (3 t) - (- \frac{1}{3} s \cdot \int e^{- s t} sin (3 t) d t))

Vereinfache

- \frac{1}{3} s : - \frac{s}{3}

= - \frac{1}{3} e^{- s t} cos (3 t) - \frac{s}{3} (\frac{1}{3} e^{- s t} sin (3 t) - (- \frac{s}{3} \cdot \int e^{- s t} sin (3 t) d t))

Deshalb

\int e^{- s t} sin (3 t) d t = - \frac{1}{3} e^{- s t} cos (3 t) - \frac{s}{3} (\frac{1}{3} e^{- s t} sin (3 t) - (- \frac{s}{3} \cdot \int e^{- s t} sin (3 t) d t))

Isoliere

\int e^{- s t} sin (3 t) d t

= - \frac{3 e ^{- s t} cos ( 3 t )}{9 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( 3 t )}{9 + s ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{3 e ^{- s t} cos ( 3 t )}{9 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} sin ( 3 t )}{9 + s ^{2}} + C

t \to 0 lim (sin^{t} (t))

d er i v a t i v e y = sin ((π x)^{4})

\frac{\partial}{\partial x} (x^{3} - 7 x^{2} + y^{3} - 5 y)

d er i v a t i v e 5 + 3 x

x \to 0 - lim (\frac{ln ( x )}{x})