integral of e^{-st}cos(bt)

Lösung

\int e^{- s t} cos (b t) d t

\frac{b e ^{- s t} sin ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s t} cos (b t) d t

Wende die partielle Integration an

= e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - \int - s e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - (- s \frac{1}{b} \cdot \int e^{- s t} sin (b t) d t)

Vereinfache

- s \frac{1}{b} : - \frac{s}{b}

= e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - (- \frac{s}{b} \cdot \int e^{- s t} sin (b t) d t)

Wende die partielle Integration an

= e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - (- \frac{s}{b} (- e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - \int s e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) d t))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - (- \frac{s}{b} (- e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - s \frac{1}{b} \cdot \int e^{- s t} cos (b t) d t))

Vereinfache

s \frac{1}{b} : \frac{s}{b}

= e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - (- \frac{s}{b} (- e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - \frac{s}{b} \cdot \int e^{- s t} cos (b t) d t))

Deshalb

\int e^{- s t} cos (b t) d t = e^{- s t} \frac{1}{b} sin (b t) - (- \frac{s}{b} (- e^{- s t} \frac{1}{b} cos (b t) - \frac{s}{b} \cdot \int e^{- s t} cos (b t) d t))

Isoliere

\int e^{- s t} cos (b t) d t

= \frac{b e ^{- s t} sin ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{b e ^{- s t} sin ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( b t )}{b ^{2} + s ^{2}} + C

\int \frac{1}{x + 3} d x

\int sin (x) y d x

f (t) = t^{3}

\int_{- 1}^{1} e^{2 x - 2} d x

\int cot (t) d t