integral of (x-4)/((x+4)(x+3)^2)

解

\int \frac{x - 4}{( x + 4 ) ( x + 3 ) ^{2}} d x

- 8 ln ∣ x + 4 ∣ + 8 ln ∣ x + 3 ∣ + \frac{7}{x + 3} + C

解答ステップ

\int \frac{x - 4}{( x + 4 ) ( x + 3 ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x - 4}{( x + 4 ) ( x + 3 ) ^{2}} : - \frac{8}{x + 4} + \frac{8}{x + 3} - \frac{7}{( x + 3 ) ^{2}}

= \int - \frac{8}{x + 4} + \frac{8}{x + 3} - \frac{7}{( x + 3 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{8}{x + 4} d x + \int \frac{8}{x + 3} d x - \int \frac{7}{( x + 3 ) ^{2}} d x

\int \frac{8}{x + 4} d x = 8 ln ∣ x + 4 ∣

\int \frac{8}{x + 3} d x = 8 ln ∣ x + 3 ∣

\int \frac{7}{( x + 3 ) ^{2}} d x = - \frac{7}{x + 3}

= - 8 ln ∣ x + 4 ∣ + 8 ln ∣ x + 3 ∣ - (- \frac{7}{x + 3})

簡素化

= - 8 ln ∣ x + 4 ∣ + 8 ln ∣ x + 3 ∣ + \frac{7}{x + 3}

定数を解答に追加する

= - 8 ln ∣ x + 4 ∣ + 8 ln ∣ x + 3 ∣ + \frac{7}{x + 3} + C