integral of xln((x+2)/(x+1))

解

\int x ln (\frac{x + 2}{x + 1}) d x

\frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{x + 2}{x + 1}) + \frac{1}{2} (x - 4 ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x + 1 ∣) + C

解答ステップ

\int x ln (\frac{x + 2}{x + 1}) d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{x + 2}{x + 1}) - \int - \frac{x ^{2}}{2 ( x + 2 ) ( x + 1 )} d x

\int - \frac{x ^{2}}{2 ( x + 2 ) ( x + 1 )} d x = - \frac{1}{2} (x - 4 ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x + 1 ∣)

= \frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{x + 2}{x + 1}) - (- \frac{1}{2} (x - 4 ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x + 1 ∣))

簡素化

= \frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{x + 2}{x + 1}) + \frac{1}{2} (x - 4 ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x + 1 ∣)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} x^{2} ln (\frac{x + 2}{x + 1}) + \frac{1}{2} (x - 4 ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x + 1 ∣) + C