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integral of (x^3)/(e^{2x)}

解答

\int \frac{x ^{3}}{e ^{2 x}} d x

解答

\frac{1}{16} (- 8 e^{- 2 x} x^{3} - 3 (4 e^{- 2 x} x^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}))) + C

求解步骤

\int \frac{x ^{3}}{e ^{2 x}} d x

使用指数法则:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{x ^{3}}{e ^{2 x}} = (x^{3}) e^{- 2 x}

= \int x^{3} e^{- 2 x} d x

使用换元积分法

= \int \frac{e ^{u} u ^{3}}{16} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{16} \cdot \int e^{u} u^{3} d u

使用分布积分法

= \frac{1}{16} (u^{3} e^{u} - \int 3 u^{2} e^{u} d u)

\int 3 u^{2} e^{u} d u = 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))

= \frac{1}{16} (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})))

u = - 2 x

代回

= \frac{1}{16} ((- 2 x)^{3} e^{- 2 x} - 3 ((- 2 x)^{2} e^{- 2 x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 x) - e^{- 2 x})))

化简

\frac{1}{16} ((- 2 x)^{3} e^{- 2 x} - 3 ((- 2 x)^{2} e^{- 2 x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 x) - e^{- 2 x}))) : \frac{1}{16} (- 8 e^{- 2 x} x^{3} - 3 (4 e^{- 2 x} x^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})))

= \frac{1}{16} (- 8 e^{- 2 x} x^{3} - 3 (4 e^{- 2 x} x^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})))

解答补常数

= \frac{1}{16} (- 8 e^{- 2 x} x^{3} - 3 (4 e^{- 2 x} x^{2} - 2 (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}))) + C

作图

流行的例子

integral of (e^{2x})/(1-e^{2x)}

\int \frac{e ^{2 x}}{1 - e ^{2 x}} d x

integral from 4 to 5 of ((e^y)/3)^2

\int_{4}^{5} (\frac{e ^{y}}{3})^{2} d y

sum from n=1 to infinity of (n^4)/(2^n)

n = 1 \sum \infty \frac{n ^{4}}{2 ^{n}}

integral of (3-2x-x^4)

\int (3 - 2 x - x^{4}) d x

integral of 10sin(x)2x

\int 10 sin (x) 2 x d x