テイラー f(x)=ln(1+x)

解

テイラー

f (x) = ln (1 + x)

解答ステップ

テイラーの公式を適用する

= 0 + \frac{\frac{d}{d x} ( ln ( 1 + x ) ) ( 0 )}{1 !} x + \frac{\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} ( ln ( 1 + x ) ) ( 0 )}{2 !} x^{2} + \frac{\frac{d ^{3}}{d x ^{3}} ( ln ( 1 + x ) ) ( 0 )}{3 !} x^{3} + \dots

導関数を評価する

= 0 + \frac{1}{1 !} x + \frac{- 1}{2 !} x^{2} + \frac{2}{3 !} x^{3} + \frac{- 6}{4 !} x^{4} + \frac{24}{5 !} x^{5} + \dots

改良

= x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{5} x^{5} + \dots

級数の和の表現

= n = 1 \sum \infty (- 1)^{n + 1} \frac{x ^{n}}{n}