integral of cos^4(3x)

Lösung

\int cos^{4} (3 x) d x

\frac{1}{3} cos^{3} (3 x) sin (3 x) + \frac{1}{32} (12 x - sin (12 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{4} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int cos^{4} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int cos^{4} (u) d u

Vereinfache

cos^{4} (u) : cos^{3} (u) cos (u)

= \frac{1}{3} \cdot \int cos^{3} (u) cos (u) d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{3} (cos^{3} (u) sin (u) - \int - 3 cos^{2} (u) sin^{2} (u) d u)

\int - 3 cos^{2} (u) sin^{2} (u) d u = - \frac{3}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

= \frac{1}{3} (cos^{3} (u) sin (u) - (- \frac{3}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))))

Setze in

u = 3 x

ein

= \frac{1}{3} (cos^{3} (3 x) sin (3 x) - (- \frac{3}{8} (3 x - \frac{1}{4} sin (4 \cdot 3 x))))

Vereinfache

\frac{1}{3} (cos^{3} (3 x) sin (3 x) - (- \frac{3}{8} (3 x - \frac{1}{4} sin (4 \cdot 3 x)))) : \frac{1}{3} cos^{3} (3 x) sin (3 x) + \frac{1}{32} (12 x - sin (12 x))

= \frac{1}{3} cos^{3} (3 x) sin (3 x) + \frac{1}{32} (12 x - sin (12 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} cos^{3} (3 x) sin (3 x) + \frac{1}{32} (12 x - sin (12 x)) + C

y = \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x}^{2}

a re a y = 5 x^{2}, y^{2} = \frac{1}{5} x

\frac{d y}{d x} = x^{6} y

x \to 100 lim (8 x)

d er i v a t i v e \frac{1}{4 x ^{\frac{3}{2}}}