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integral of sqrt(25x^2-4)

解

\int 25 x^{2} - 4 d x

解

\frac{1}{10} (5 x 25 x^{2} - 4 - 4 ln (\frac{5 x + 25 x ^{2} - 4}{2})) + C

解答ステップ

\int 25 x^{2} - 4 d x

三角関数による置換を適用する

= \int \frac{4}{5} tan^{2} (u) sec (u) d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{4}{5} \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \frac{4}{5} \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

拡張

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= \frac{4}{5} \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{4}{5} (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{4}{5} (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

代用を戻す

u = arcsec (\frac{5}{2} x)

= \frac{4}{5} (- ln tan (arcsec (\frac{5}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{5}{2} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{5}{2} x)) tan (arcsec (\frac{5}{2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{5}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{5}{2} x)))

簡素化

\frac{4}{5} (- ln tan (arcsec (\frac{5}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{5}{2} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{5}{2} x)) tan (arcsec (\frac{5}{2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{5}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{5}{2} x))) : \frac{1}{10} (5 x 25 x^{2} - 4 - 4 ln (\frac{5 x + 25 x ^{2} - 4}{2}))

= \frac{1}{10} (5 x 25 x^{2} - 4 - 4 ln (\frac{5 x + 25 x ^{2} - 4}{2}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{10} (5 x 25 x^{2} - 4 - 4 ln (\frac{5 x + 25 x ^{2} - 4}{2})) + C

グラフ

人気の例

integral of cos(θ)sin^8(θ)

\int cos (θ) sin^{8} (θ) d θ

integral of sqrt(2x)

\int 2 x d x

integral of (e^x)/(e^{2x)+2e^x+1}

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 2 e ^{x} + 1} d x

integral of 3/(y^3)

\int \frac{3}{y ^{3}} d y

tangent f(x)=x^2-4,\at 5

t an g e n t f (x) = x^{2} - 4, at 5