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integral of sqrt(8x-x^2)

Lösung

\int 8 x - x^{2} d x

8 (arcsin (\frac{1}{4} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x - 1))) + C

Schritte zur Lösung

\int 8 x - x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

8 x - x^{2} : - (x - 4)^{2} + 16

= \int - (x - 4)^{2} + 16 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 16 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 16 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 16 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 16 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 16 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 16 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{4} (x - 4)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} (x - 4))))

Vereinfache

16 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{4} (x - 4)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} (x - 4)))) : 8 (arcsin (\frac{1}{4} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x - 1)))

= 8 (arcsin (\frac{1}{4} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x - 1)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 8 (arcsin (\frac{1}{4} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x - 1))) + C

\int x 12 - x^{2} d x

a re a y = 1 - x^{2}, y = 4 - 4 x

d er i v a t i v e f (x) = - 3 x

\frac{\partial}{\partial x} ((x^{2} y^{2})^{\frac{1}{3}})

\frac{\partial}{\partial x} (8 y e^{5 x})