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integral of ((1-((x^2)/9)))^{1/2}

Lösung

\int ((1 - (\frac{x ^{2}}{9})))^{\frac{1}{2}} d x

\frac{3}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int (1 - \frac{x ^{2}}{9})^{\frac{1}{2}} d x

Vereinfache

(1 - \frac{x ^{2}}{9})^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{3} (9 - x^{2})^{\frac{1}{2}}

= \int \frac{1}{3} (9 - x^{2})^{\frac{1}{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int (9 - x^{2})^{\frac{1}{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{3} \cdot \int 9 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{3} x)

ein

= \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Vereinfache

\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) : \frac{3}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

= \frac{3}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) + C

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{3})

\int (x + 2) (x - 5) d x

\frac{d}{d x} (e^{\frac{x ^{4}}{10}})

\frac{d y}{d x} = x^{2} + y - 1

y^{^{''}} + 9 y = 2 sin (2 x), y (0) = 0, y^{^{'}} (0) = - 1