integral of e^{-2x}(x^2-3x+4)

解

\int e^{- 2 x} (x^{2} - 3 x + 4) d x

- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + C

解答ステップ

\int e^{- 2 x} (x^{2} - 3 x + 4) d x

拡張

e^{- 2 x} (x^{2} - 3 x + 4) : e^{- 2 x} x^{2} - 3 e^{- 2 x} x + 4 e^{- 2 x}

= \int e^{- 2 x} x^{2} - 3 e^{- 2 x} x + 4 e^{- 2 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- 2 x} x^{2} d x - \int 3 e^{- 2 x} x d x + \int 4 e^{- 2 x} d x

\int e^{- 2 x} x^{2} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})

\int 3 e^{- 2 x} x d x = \frac{3}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x})

\int 4 e^{- 2 x} d x = - 2 e^{- 2 x}

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}) - \frac{3}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}) - 2 e^{- 2 x}

簡素化

- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}) - \frac{3}{4} (- 2 e^{- 2 x} x - e^{- 2 x}) - 2 e^{- 2 x} : - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x}

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + C