integral of (e^{-x})/(1-e^{-2x)}

解

\int \frac{e ^{- x}}{1 - e ^{- 2 x}} d x

- \frac{1}{2} ln e^{- x} + 1 + \frac{1}{2} ln e^{- x} - 1 + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{- x}}{1 - e ^{- 2 x}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{e ^{- x}}{1 - e ^{- 2 x}} : - \frac{1}{2 ( e ^{- x} + 1 )} - \frac{1}{2 ( e ^{- x} - 1 )}

= \int - \frac{1}{2 ( e ^{- x} + 1 )} - \frac{1}{2 ( e ^{- x} - 1 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{2 ( e ^{- x} + 1 )} d x - \int \frac{1}{2 ( e ^{- x} - 1 )} d x

\int \frac{1}{2 ( e ^{- x} + 1 )} d x = \frac{1}{2} (ln e^{- x} + 1 + x)

\int \frac{1}{2 ( e ^{- x} - 1 )} d x = - \frac{1}{2} (x + ln e^{- x} - 1)

= - \frac{1}{2} (ln e^{- x} + 1 + x) - (- \frac{1}{2} (x + ln e^{- x} - 1))

簡素化

- \frac{1}{2} (ln e^{- x} + 1 + x) - (- \frac{1}{2} (x + ln e^{- x} - 1)) : - \frac{1}{2} ln e^{- x} + 1 + \frac{1}{2} ln e^{- x} - 1

= - \frac{1}{2} ln e^{- x} + 1 + \frac{1}{2} ln e^{- x} - 1

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{2} ln e^{- x} + 1 + \frac{1}{2} ln e^{- x} - 1 + C