интеграл от 1/(x(2x+5))

Решение

\int \frac{1}{x ( 2 x + 5 )} d x

- \frac{1}{5} (ln \frac{4}{5} x + 2 - ln (\frac{4}{5} ∣ x ∣)) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{x ( 2 x + 5 )} d x

Заполните квадрат

x (2 x + 5) : 2 (x + \frac{5}{4})^{2} - \frac{25}{8}

= \int \frac{1}{2 ( x + \frac{5}{4} ) ^{2} - \frac{25}{8}} d x

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{8}{16 u ^{2} - 25} d u

= \int \frac{8}{16 u ^{2} - 25} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int \frac{1}{16 u ^{2} - 25} d u

Применить подстановку интеграла

= 8 \cdot \int \frac{1}{20 ( v ^{2} - 1 )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{20} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Найдите множитель

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 8 \cdot \frac{1}{20} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{20} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 8 \cdot \frac{1}{20} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Делаем обратную замену

= 8 \cdot \frac{1}{20} (- (\frac{ln \frac{4}{5} ( x + \frac{5}{4} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{4}{5} ( x + \frac{5}{4} ) - 1}{2}))

Упростите

8 \cdot \frac{1}{20} (- (\frac{ln \frac{4}{5} ( x + \frac{5}{4} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{4}{5} ( x + \frac{5}{4} ) - 1}{2})) : - \frac{1}{5} (ln \frac{4}{5} x + 2 - ln (\frac{4}{5} ∣ x ∣))

= - \frac{1}{5} (ln \frac{4}{5} x + 2 - ln (\frac{4}{5} ∣ x ∣))

Добавить константу к решению

= - \frac{1}{5} (ln \frac{4}{5} x + 2 - ln (\frac{4}{5} ∣ x ∣)) + C