inverselaplace ((s^2+s))/(2s^2+2s+1)

解

逆ラプラス

\frac{( s ^{2} + s )}{2 s ^{2} + 2 s + 1}

\frac{1}{2} δ (t) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{t}{2})

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{( s ^{2} + s )}{2 s ^{2} + 2 s + 1}}

以下の部分分数を得る:

\frac{s ^{2} + s}{2 s ^{2} + 2 s + 1} : \frac{1}{2} - \frac{1}{2 ( 2 s ^{2} + 2 s + 1 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{2} - \frac{1}{2 ( 2 s ^{2} + 2 s + 1 )}}

拡張

\frac{1}{2 ( 2 s ^{2} + 2 s + 1 )} : \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} δ (t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \cdot 2 sin (\frac{t}{2})

= \frac{1}{2} δ (t) - \frac{1}{4} e^{- \frac{t}{2}} \cdot 2 sin (\frac{t}{2})

改良

\frac{1}{2} δ (t) - \frac{1}{4} e^{- \frac{t}{2}} 2 sin (\frac{t}{2}) : \frac{1}{2} δ (t) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{t}{2})

= \frac{1}{2} δ (t) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{t}{2})