интеграл от e^θcos(2θ)

Решение

\int e^{θ} cos (2 θ) d θ

\frac{2 e ^{θ} sin ( 2 θ )}{5} + \frac{e ^{θ} cos ( 2 θ )}{5} + C

Шаги решения

\int e^{θ} cos (2 θ) d θ

Применить интегрирование по частям

= e^{θ} \frac{1}{2} sin (2 θ) - \int e^{θ} \frac{1}{2} sin (2 θ) d θ

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{θ} \frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{2} \cdot \int e^{θ} sin (2 θ) d θ

Применить интегрирование по частям

= e^{θ} \frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{θ} cos (2 θ) - \int - \frac{1}{2} e^{θ} cos (2 θ) d θ)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{θ} \frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{θ} cos (2 θ) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{θ} cos (2 θ) d θ))

Поэтому

\int e^{θ} cos (2 θ) d θ = e^{θ} \frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{θ} cos (2 θ) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{θ} cos (2 θ) d θ))

Отделять

\int e^{θ} cos (2 θ) d θ

= \frac{2 e ^{θ} sin ( 2 θ )}{5} + \frac{e ^{θ} cos ( 2 θ )}{5}

Добавить константу к решению

= \frac{2 e ^{θ} sin ( 2 θ )}{5} + \frac{e ^{θ} cos ( 2 θ )}{5} + C