integral of (y+4)/(y^3+2y^2+2y)

解答

\int \frac{y + 4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y

- arctan (y + 1) + 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2 + C

求解步骤

\int \frac{y + 4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y

乘开

\frac{y + 4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} : \frac{y}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} + \frac{4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y}

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{y}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y + \int \frac{4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y

\int \frac{y}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y = arctan (y + 1)

\int \frac{4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y = 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2 - 2 arctan (y + 1)

= arctan (y + 1) + 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2 - 2 arctan (y + 1)

化简

= - arctan (y + 1) + 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2

解答补常数

= - arctan (y + 1) + 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2 + C

\frac{d}{d x} (5 x^{3} y)

d er i v a t i v e \frac{t sin ( t )}{1 + t}

a re a \frac{x}{1 + x ^{2}}, \frac{( x ^{2} )}{1 + x ^{3}}

y^{^{'}} = \frac{x y + 2 y}{x + 3}

x (x^{3} + 1) y^{^{'}} + (2 x^{3} - 1) y = \frac{x ^{3} - 2}{x}