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integral of 3cos^5(3x)

Lösung

\int 3 cos^{5} (3 x) d x

sin (3 x) - \frac{2}{3} sin^{3} (3 x) + \frac{1}{5} sin^{5} (3 x) + C

Schritte zur Lösung

\int 3 cos^{5} (3 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int cos^{5} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int cos^{5} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int cos^{5} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int (1 - sin^{2} (u))^{2} cos (u) d u

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int (1 - v^{2})^{2} d v

Multipliziere aus

(1 - v^{2})^{2} : 1 - 2 v^{2} + v^{4}

= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int 1 - 2 v^{2} + v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{3} (\int 1 d v - \int 2 v^{2} d v + \int v^{4} d v)

\int 1 d v = v

\int 2 v^{2} d v = \frac{2 v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= 3 \cdot \frac{1}{3} (v - \frac{2 v ^{3}}{3} + \frac{v ^{5}}{5})

Ersetze zurück

= 3 \cdot \frac{1}{3} (sin (3 x) - \frac{2 sin ^{3} ( 3 x )}{3} + \frac{sin ^{5} ( 3 x )}{5})

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{3} (sin (3 x) - \frac{2 sin ^{3} ( 3 x )}{3} + \frac{sin ^{5} ( 3 x )}{5}) : sin (3 x) - \frac{2}{3} sin^{3} (3 x) + \frac{1}{5} sin^{5} (3 x)

= sin (3 x) - \frac{2}{3} sin^{3} (3 x) + \frac{1}{5} sin^{5} (3 x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= sin (3 x) - \frac{2}{3} sin^{3} (3 x) + \frac{1}{5} sin^{5} (3 x) + C

\int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} + 4} d x

\frac{d}{d x} (ln^{3} (5 x))

\frac{\partial}{\partial y} (2 x y z^{- 1})

y^{^{'}} = e^{5 y + 8 x}

\int \frac{1}{e ^{3 x}} d x