inverselaplace (4-4s)/(4s^2+4s+17)

解

逆ラプラス

\frac{4 - 4 s}{4 s ^{2} + 4 s + 17}

- e^{- \frac{t}{2}} cos (2 t) + \frac{3}{4} e^{- \frac{t}{2}} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{4 - 4 s}{4 s ^{2} + 4 s + 17}}

拡張

\frac{4 - 4 s}{4 s ^{2} + 4 s + 17} : - \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {- \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4}} + \frac{3}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4}} : e^{- \frac{t}{2}} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4}} : e^{- \frac{t}{2}} \frac{1}{2} sin (2 t)

= - e^{- \frac{t}{2}} cos (2 t) + \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

- e^{- \frac{t}{2}} cos (2 t) + \frac{3}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{1}{2} sin (2 t) : - e^{- \frac{t}{2}} cos (2 t) + \frac{3}{4} e^{- \frac{t}{2}} sin (2 t)

= - e^{- \frac{t}{2}} cos (2 t) + \frac{3}{4} e^{- \frac{t}{2}} sin (2 t)