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受欢迎的微积分 >

integral of (sqrt(x-3))/(sqrt(x+1))

解答

\int \frac{x - 3}{x + 1} d x

解答

x - 3 x + 1 - 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x - 3) + C

求解步骤

\int \frac{x - 3}{x + 1} d x

使用换元积分法

= \int 2 u^{2} - 4 d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int u^{2} - 4 d u

使用三角换元法

= 2 \cdot \int 4 tan^{2} (v) sec (v) d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 4 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

使用三角恒等式改写

= 2 \cdot 4 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

乘开

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 2 \cdot 4 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 4 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 2 \cdot 4 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

代回

= 2 \cdot 4 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)))

化简

2 \cdot 4 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1))) : x - 3 x + 1 - 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x - 3)

= x - 3 x + 1 - 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x - 3)

解答补常数

= x - 3 x + 1 - 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x - 3) + C

作图

流行的例子

y^{''}-y^'-6y=0,y(0)=1,y^'(0)=0

y^{^{''}} - y^{^{'}} - 6 y = 0, y (0) = 1, y^{^{'}} (0) = 0

integral of 9/(x(x+3))

\int \frac{9}{x ( x + 3 )} d x

integral of ln(y)

\int ln (y) d y

integral of 3x^2-24x+36

\int 3 x^{2} - 24 x + 36 d x

(dy)/(dx)=((x-y))/(x+2y),y(0)=1

\frac{d y}{d x} = \frac{( x - y )}{x + 2 y}, y (0) = 1