zs

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

受欢迎的微积分 >

integral of z/(z^2+z-1)

解答

\int \frac{z}{z ^{2} + z - 1} d z

解答

2 (\frac{1}{4} ln 4 z^{2} + 4 z - 4 + \frac{1}{4 5} (ln \frac{2 z + 1}{5} + 1 - ln \frac{2 z + 1}{5} - 1)) + C

求解步骤

\int \frac{z}{z ^{2} + z - 1} d z

对

z^{2} + z - 1

配方:

(z + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

= \int \frac{z}{( z + \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}} d z

使用换元积分法

= \int \frac{2 ( 2 u - 1 )}{4 u ^{2} - 5} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{2 u - 1}{4 u ^{2} - 5} d u

乘开

\frac{2 u - 1}{4 u ^{2} - 5} : \frac{2 u}{4 u ^{2} - 5} - \frac{1}{4 u ^{2} - 5}

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{2 u}{4 u ^{2} - 5} d u - \int \frac{1}{4 u ^{2} - 5} d u)

\int \frac{2 u}{4 u ^{2} - 5} d u = \frac{1}{4} ln 4 u^{2} - 5

\int \frac{1}{4 u ^{2} - 5} d u = - \frac{1}{4 5} (ln \frac{2}{5} u + 1 - ln \frac{2}{5} u - 1)

= 2 (\frac{1}{4} ln 4 u^{2} - 5 - (- \frac{1}{4 5} (ln \frac{2}{5} u + 1 - ln \frac{2}{5} u - 1)))

u = z + \frac{1}{2}

代回

= 2 (\frac{1}{4} ln 4 (z + \frac{1}{2})^{2} - 5 - (- \frac{1}{4 5} (ln \frac{2}{5} (z + \frac{1}{2}) + 1 - ln \frac{2}{5} (z + \frac{1}{2}) - 1)))

化简

2 (\frac{1}{4} ln 4 (z + \frac{1}{2})^{2} - 5 - (- \frac{1}{4 5} (ln \frac{2}{5} (z + \frac{1}{2}) + 1 - ln \frac{2}{5} (z + \frac{1}{2}) - 1))) : 2 (\frac{1}{4} ln 4 z^{2} + 4 z - 4 + \frac{1}{4 5} (ln \frac{2 z + 1}{5} + 1 - ln \frac{2 z + 1}{5} - 1))

= 2 (\frac{1}{4} ln 4 z^{2} + 4 z - 4 + \frac{1}{4 5} (ln \frac{2 z + 1}{5} + 1 - ln \frac{2 z + 1}{5} - 1))

解答补常数

= 2 (\frac{1}{4} ln 4 z^{2} + 4 z - 4 + \frac{1}{4 5} (ln \frac{2 z + 1}{5} + 1 - ln \frac{2 z + 1}{5} - 1)) + C

作图

流行的例子

f (x) = sec (3 x)

(\partial)/(\partial y)(y/((x^2+y^2)^{3/2)})

\frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}})

integral of (t^2sqrt(t))

\int (t^{2} t) d t

integral of (x^2+3x-4)/(x^3-4x^2+4x)

\int \frac{x ^{2} + 3 x - 4}{x ^{3} - 4 x ^{2} + 4 x} d x

integral of x^5cos(x^3)

\int x^{5} cos (x^{3}) d x