inverselaplace s/(s^2+s+1)

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{s}{s ^{2} + s + 1}

e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + s + 1}}

Schreibe

\frac{s}{s ^{2} + s + 1}

um:

\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

= e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

Fasse

e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

zusammen:

e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

= e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

x \to 0 + lim (x^{2} + x)

\frac{\partial}{\partial y} (x^{4} - x^{2} y^{3})

\int_{0}^{1} (10 + x x) d x

y^{^{''}} + y = sin (t), y (0) = 0, y^{^{'}} (0) = 0

x y y^{^{'}} = x^{2} e^{\frac{y}{x}} + y^{2}