integral of ln(1+x^3)

Lösung

\int ln (1 + x^{3}) d x

x ln (1 + x^{3}) + ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) - 3 x + C

Schritte zur Lösung

\int ln (1 + x^{3}) d x

Wende die partielle Integration an

= x ln (1 + x^{3}) - \int \frac{3 x ^{3}}{1 + x ^{3}} d x

\int \frac{3 x ^{3}}{1 + x ^{3}} d x = - ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{2} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + 3 x

= x ln (1 + x^{3}) - (- ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{2} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + 3 x)

Vereinfache

x ln (1 + x^{3}) - (- ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{2} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) + 3 x) : x ln (1 + x^{3}) + ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) - 3 x

= x ln (1 + x^{3}) + ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) - 3 x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x ln (1 + x^{3}) + ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} (- ln \frac{4 x ^{2} - 4 x}{3} + \frac{4}{3} + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})) - 3 x + C

y^{^{'}} + 9 x e^{y} = 0

\frac{\partial}{\partial y} (\frac{3 x}{y})

y^{^{'}} = 4 - y

\int (\frac{2}{x ^{3}} + \frac{3}{x ^{2}} + 5) d x

x \to 0 lim (x^{2} cos (\frac{9}{x}))