integral of (xe^x)/(sqrt(e^x-1))

Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{e ^{x} - 1} d x

2 x e^{x} - 1 - 4 (- arctan (e^{x} - 1) + e^{x} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{e ^{x} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{ln ( u )}{u - 1} d u

Wende die partielle Integration an

= 2 ln (u) u - 1 - \int \frac{2 u - 1}{u} d u

\int \frac{2 u - 1}{u} d u = 4 (- arctan (u - 1) + u - 1)

= 2 ln (u) u - 1 - 4 (- arctan (u - 1) + u - 1)

Setze in

u = e^{x}

ein

= 2 ln (e^{x}) e^{x} - 1 - 4 (- arctan (e^{x} - 1) + e^{x} - 1)

Vereinfache

ln (e^{x}) : x

= 2 x e^{x} - 1 - 4 (- arctan (e^{x} - 1) + e^{x} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 x e^{x} - 1 - 4 (- arctan (e^{x} - 1) + e^{x} - 1) + C

\int \frac{1}{3 2 - 3 x} d x

\int e^{2 x} 3 e^{x} + 2 d x

\int \frac{3 + 2 x ^{2}}{4 9 x + 2 x ^{3}} d x

\int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ( x ^{2} + x )} d x

\int \frac{ln ( tan ( x ) )}{sin ( x ) cos ( x )} d x